» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Battendo (senza pizzicare) una corda infinitamente estesa

Ottobre 17th, 2018 | by Marcello Colozzo |

Abbiamo esaminato il caso 1. Passiamo ora alla corda (infinitamente estesa) e battuta, per cui inizialmente si trova nella configurazione di equilibrio, mentre il campo scalare della velocità iniziale è una assegnata funzione ψ(x). Quindi definiamo:

La soluzione del problema di Cauchy assegnato, si scrive:

che è ancora una sovrapposizione di due onde piane che si propagano a velocità c in versi opposti. Nell'istante t=0 tali onde interferiscono distruttivamente, cancellandosi a vicenda:

come appunto deve essere, giacché la corda è inizialmente in equilibrio. Ad esempio, se il campo di velocità iniziale è una gaussiana:

si ha

essendo erf(x) la funzione degli errori. In fig. 1 sono plottati gli andamenti delle varie grandezze, nonché la u(x,0) da cui vediamo che è identicamente nulla.

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L'evoluzione dinamica della corda battuta con il campo di velocità assegnato, è

Per t=t₁=8s presenta l'andamento riportato in figura:

Ciò non si verifica solo per una campo gaussiano come quello appena visto, ma è una proprietà generale a patto che la distribuzione sia sufficientemente piccata. Più precisamente, dato un campo di velocità iniziale ψ(x) sufficientemente piccato intorno a x=0 (o a un punto x0), si ha:

per cui

Cioè per x»1 la funzione ?(x) è approssimativamente costante. Ne consegue

onde lo spostamento a regime

che è una costante. In altri termini, la corda tende a traslare nell'istante in cui le onde componenti sono sufficientemente lontane.

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Tags: equazione della corda vibrante, equazioni differenziali alle derivate parziali, soluzione di D'Alembert

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