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[¯|¯] Analisi spettrale dell'energia dissipata per effetto Joule

Giugno 25th, 2018 | by Marcello Colozzo |

Esercizio
La caduta di tensione ai capi di una resistenza R=20 Ohm è:

con

Sottoporre ad analisi spettrale la potenza dissipata per effetto Joule.

Soluzione
La funzione V(t) non è periodica, giacché è un'oscillazione cosinusoidale di durata τ<+oo
Scriviamo il suo sviluppo in integrale di Fourier

ovviamente:

cioè la trasformata di Fourier di V(t).

Per agevolare il calcolo dell'integrale, scriviamo V(t) in forma complessa:

onde

Calcoliamo a parte l'integrale

Quindi

il cui grafico è

Per esplicitare il significato fisico della trasformata di Fourier di V()t riscriviamo lo sviluppo integrale nella forma:

dove

Quindi V(t) si esprime come sovrapposizione lineare di infinite oscillazioni sinusoidali (componenti di Fourier) di frequenza ω variabile con continuità da -oo a +oo, e di ampiezza infinitesima dA(ω). Più precisamente:

è l'ampiezza delle predette oscillazioni con frequenza compresa tra ω₁ e ω₁+dω. Ne consegue che la funzione non negativa:

definisce la densità spettrale di V(t), i.e. l'ampiezza delle componenti di Fourier per intervallo unitario di frequenza. Nel sistema di unità di misura S.I. misuriamo la differenza di potenziale in Volt (V) e la frequenza in Hertz (Hz). Quindi la densità spettrale, ha le dimensioni di una d.d.p per un tempo, onde si misura in V/Hz . Nel caso in esame, la densità spettrale è

ed è graficata di seguito, da cui vediamo che il contributo dominante all'integrale di Fourier proviene dalle oscillazioni di frequenza prossima a ω₀=50rad/s .

La potenza dissipata per effetto Joule dalla resistenza è:

ove abbiamo utilizzato il modulo |·| giacché V(t) potrebbe essere espressa in forma complessa. Il valor medio in un intervallo Δt è:

Per definizione di potenza

dove E è l'energia media nell'intervallo Δt. Quindi

L'energia media nell'intervallo di tempo (-oo,+oo) detta anche energia totale:

Per l'uguaglianza di Parseval

La funzione non negativa w(ω) definisce lo spettro dell'energia media sviluppata dalla resistenza unitaria. Tale densità spettrale è impropriamente denominata spettro di potenza della d.d.p. V(t). Nella caso in esame è graficata in figura:

Abbiamo quindi eseguito un'analisi spettrale dell'energia dissipata per effetto Joule da una resistenza R=20 Ohm sottoposta a una d.d.p. data un'oscillazione cosinusoidale limitata nel tempo. Tuttavia, l'energia media si calcola facilmente nel dominio del tempo anziché nel dominio delle frequenze. Precisamente:

onde

Finalmente

Nel dominio della frequenza, invece, avremmo dovuto calcolare:

Tenendo conto del risultato precedente, possiamo scrivere:

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Tags: effetto joule, energia, potenza dissipata, Trasformata di Fourier

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