[¯|¯] La funzione logaritmo integrale

Aprile 17th, 2017 | by Marcello Colozzo |

logaritmo integrale,parte principale di Cauchy,distribuzione dei numeri primi

Fig. 1. ContourPlot tracciato con Mathtematica della funzione logaritmo integrale estesa al campo complesso.

Il logaritmo integrale è la seguente funzione integrale:

logaritmo integrale,parte principale di Cauchy,distribuzione dei numeri primi

dove l'asterisco denota la parte principale di Cauchy:
logaritmo integrale,parte principale di Cauchy,distribuzione dei numeri primi

Risulta

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Di seguito il grafico della restrizione di li(x) all'intervallo [0,4], da cui vediamo la presenza dell'asintoto verticale x=1.

logaritmo integrale,parte principale di Cauchy,distribuzione dei numeri primi

La funzione logaritmo integrale è utilizzata nello studio della distribuzione dei numeri primi.








Ad esempio, consideriamo la funzione

logaritmo integrale,parte principale di Cauchy,distribuzione dei numeri primi

Segue

legge di distribuzione dei numeri primi, numeri primi,funzione zeta di Riemann,approssimazione di Riemann

graficata di seguito dove ne confrontiamo l'andamento con la distribuzione dei primi π(x).

legge di distribuzione dei numeri primi, numeri primi,funzione zeta di Riemann,approssimazione di Riemann

Nel campo complesso il logaritmo integrale è dato da
legge di distribuzione dei numeri primi, numeri primi,funzione zeta di Riemann,approssimazione di Riemann

In fig. 1 (al top) è riportato l'andamento delle curve di livello del modulo del logaritmo integrale nel campo complesso.


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