» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] L'insieme di Cantor è un insieme perfetto

Aprile 9th, 2017 | by Marcello Colozzo |

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Ricordiamo che un insieme X è perfetto se ogni suo punto è di accumulazione per X e ogni punto di accumulazione è punto dell'insieme. In altri termini:

Ciò premesso, dimostriamo il teorema:

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Teorema
L'insieme di Cantor è un insieme perfetto

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Dimostrazione

Abbiamo visto che un qualunque x appartenente a C ammette un'espansione ternaria del tipo

I casi possibili sono:

Nel caso 1 definiamo

Al variare di n tale formula definisce la successione di elementi di R:

che è manifestamente convergente a x:

per cui applicando la definizione di limite

onde x è di accumulazione per C. L'asserto segue dall'arbitrarietà di x in C.









Nel caso 2 si ha

La posizione

genera una successione manifestamente convergente a x, onde l'asserto.

c.d.d.
Da tale teorema segue che l'insieme di Cantor non è numerabile.

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Tags: insieme di cantor, insieme perfetto, insieme ricorsivo, misurabilità dell'insieme di cantor

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