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[¯|¯] Omeomorfismi, spazi di Hausdorff. Varietà topologica

Aprile 1st, 2017 | by Marcello Colozzo |

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Premessa. Omeomorfismi

In precedenza abbiamo lavorato sullo spazio Rⁿ, dotandolo di una struttura di spazio vettoriale topologico. In questo post vogliamo generalizzare tale nozione, nel senso che ci riferiremo a un generico spazio topologico e non necessariamente a Rⁿ, per cui è necessario rammentare le nozioni basilari di topologia, prima tra tutte il concetto di omeomorfismo, che nel caso particolare di Rⁿ, si definisce nel seguente modo:
Definizione
Se A è un sottoinsieme di Rⁿ un'applicazione

è un omeomorfismo se φ è continua in A ed è ivi dotata di inversa continua in φ(A) (contenuta ovviamente in Rⁿ. In tal caso si dice che i sottoinsiemi di Rⁿ

sono omeomorfi.
Esempio
Nello spazio vettoriale topologico R¹ consideriamo l'applicazione

così definita:

φ(x) è continua in (-π/2,π/2) ed è ivi dotata di inversa continua in R¹:

Ne concludiamo che tanx è un omeomorfismo da (-π/2,π/2) a R¹, onde l'aperto (-π/2,π/2) è omeomorfo a R¹ attraverso tanx.

Spazi di Hausdorff. Varietà topologica

Dando per scontata la nozione di intorno di un punto p appartenente a uno spazio topologico(S,Θ), definiamo:
Definizione
Uno spazio di Hausdorff è uno spazio topologico (S,Θ) tale che

dove U_p,U_p' sono intorni di p e p' rispettivamente.









In altri termini, in uno spazio di Hausdorff ogni coppia di punti distinti ammette intorni disgiunti.
Assegnato uno spazio di Hausdorff (S,Θ) consideriamo un'applicazione:

dove U_p è un intorno di un punto p di S. Pertanto tale applicazione associa univocamente punti di un intorno di p di S a punti di Rⁿ. Particolarmente interessanti sono gli spazi di Hausdorff per i quali φ_p è un omeomorfismo nel senso della definizione data nel paragrafo precedente. In tal caso U_p è omeomorfo a un aperto di Rⁿ. Sussiste invero la seguente definizione:
Definizione
Uno spazio di Hausdorff (S,Θ) si dice varietà topologica e si denota con M, se comunque prendiamo un punto p, esiste un intorno U_p del medesimo punto, omeomorfo a un aperto di Rⁿ. Cioè

L'intero n si dice dimensione della varietà nel punto p.
Definizione
Assegnata una varietà topologica M, l'omeomorfismo:

si chiama applicazione coordinata relativa ad U_p. La coppia ordinata (U_p,φ_p}) si dice carta locale di M, e U_p è il dominio della carta.
Tenendo conto della definizione di spazio di Hausdorff ed utilizzando un linguaggio suggestivo ma efficace, possiamo dire che l'insieme delle carte locali ricopre M.

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Tags: carta locale, omeomorfismo, spazio di hausdorff, varietà topologica

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