[¯|¯] Omeomorfismi, spazi di Hausdorff. Varietà topologica

sabato, Aprile 1st, 2017

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Premessa. Omeomorfismi

In precedenza abbiamo lavorato sullo spazio Rⁿ, dotandolo di una struttura di spazio vettoriale topologico. In questo post vogliamo generalizzare tale nozione, nel senso che ci riferiremo a un generico spazio topologico e non necessariamente a Rⁿ, per cui è necessario rammentare le nozioni basilari di topologia, prima tra tutte il concetto di omeomorfismo, che nel caso particolare di Rⁿ, si definisce nel seguente modo:
Definizione
Se A è un sottoinsieme di Rⁿ un'applicazione

è un omeomorfismo se φ è continua in A ed è ivi dotata di inversa continua in φ(A) (contenuta ovviamente in Rⁿ. In tal caso si dice che i sottoinsiemi di Rⁿ

sono omeomorfi.
Esempio
Nello spazio vettoriale topologico R¹ consideriamo l'applicazione

così definita:
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φ(x) è continua in (-π/2,π/2) ed è ivi dotata di inversa continua in R¹:

Ne concludiamo che tanx è un omeomorfismo da (-π/2,π/2) a R¹, onde l'aperto (-π/2,π/2) è omeomorfo a R¹ attraverso tanx.

Spazi di Hausdorff. Varietà topologica

Dando per scontata la nozione di intorno di un punto p appartenente a uno spazio topologico(S,Θ), definiamo:
Definizione
Uno spazio di Hausdorff è uno spazio topologico (S,Θ) tale che