[¯|¯] Funzione irrazionale. Comportamento agli estremi del campo di esistenza

Gennaio 13th, 2017 | by Marcello Colozzo |

limiti,funzioni irrazionali,singolarità,discontinuità — **Fig 1**

Esercizio
Studiare il comportamento della funzione illustrata in fig. 1, agli estremi del suo campo di esistenza.

Soluzione
La funzione è definita per tutti e soli i valori della variabile indipendente x tali che

cioè

onde gli estremi del campo di esistenza sono x=1/2 e x->±oo. Iniziamo con il comportamento all'infinito, calcolando dapprima:

onde

Abbiamo

limiti,discontinuità di prima specie,infiniti punti di discontinuità,mostri topologici

Per rimuovere tale forma indeterminata, "manipoliamo" la funzione nel modo seguente:

Osserviamo che l'indeterminazione è prodotta dal segno - a numeratore, per cui dobbiamo liberarci della differenza:

Al limite

Cioè la funzione è convergente per x->±oo, e il limite vale 1/2. Geometricamente, significa che la retta orizzontale 2y-1=0 è asintoto del diagramma cartesiano della funzione, sia a sinistra che a destra.

Il comportamento in un intorno destro di x=1/2 è immediato:

Ovvero la funzione è divergente positivamente per x->(1/2)⁺ o, ciò che è lo stesso, la retta verticale 2x-1=0 è asintoto verticale a destra per il diagramma della funzione.

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