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[¯|¯] Spazio vettoriale delle funzioni di una variabile reale

Dicembre 19th, 2016 | by Marcello Colozzo |

Assegnato un intervallo [a,b] del campo reale R, è consuetudine denotare con C([a,b]) l'insieme delle funzioni reali continue in [a,b]. Introduciamo in C([a,b]) le ordinarie operazioni di addizione di funzioni e di moltiplicazione di uno scalare (elemento di R) per una funzione. Più precisamente, definiamo "somma di f(x) e g(x)" la funzione:

L'elemento neutro rispetto all'addizione è la funzione identicamente nulla, mentre l'elemento opposto di f(x) è -g(x). L'operazione di moltiplicazione di uno scalare per un elemento di C([a,b]) è così definita:

È facile persuadersi che l'insieme C([a,b]) assieme alle operazioni sopra definite (+,·), verifica tutti gli assiomi di spazio vettoriale. Ne concludiamo che (C([a,b]),+,-) è uno spazio vettoriale su R.









Osservazione

Assegnato un insieme non vuoto V e un campo K, in cui sono definite le leggi di composizione (+,-) che verificano gli assiomi di spazio vettoriale, si ha che la terna (V,+,·) è uno spazio vettoriale K. D'ora in avanti per non appesantire la notazione, indicheremo il predetto spazio vettoriale semplicemente con il simbolo V.

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Tags: addizione, assiomi, Funzioni continue, scalari, spazio vettoriale

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