[¯|¯] Spazio vettoriale delle funzioni di una variabile reale

lunedì, Dicembre 19th, 2016

spazio vettoriale,assiomi,funzioni continue,addizione,scalari

Assegnato un intervallo [a,b] del campo reale R, è consuetudine denotare con C([a,b]) l'insieme delle funzioni reali continue in [a,b]. Introduciamo in C([a,b]) le ordinarie operazioni di addizione di funzioni e di moltiplicazione di uno scalare (elemento di R) per una funzione. Più precisamente, definiamo "somma di f(x) e g(x)" la funzione:

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L'elemento neutro rispetto all'addizione è la funzione identicamente nulla, mentre l'elemento opposto di f(x) è -g(x). L'operazione di moltiplicazione di uno scalare per un elemento di C([a,b]) è così definita:

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È facile persuadersi che l'insieme C([a,b]) assieme alle operazioni sopra definite (+,·), verifica tutti gli assiomi di spazio vettoriale. Ne concludiamo che (C([a,b]),+,-) è uno spazio vettoriale su R.
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[¯|¯] Spazio vettoriale dei polinomi

lunedì, Dicembre 19th, 2016

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Leggi di composizione nell'insieme dei polinomi

Denotiamo con Pn[x] l'insieme dei polinomi su un campo K di grado minore o uguale di n (intero naturale). Introduciamo in Pn[x] le ordinarie operazioni di addizione di polinomi e di moltiplicazione di uno scalare (elemento di K) per un polinomio. Più precisamente, assegnati i polinomi:

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Definiamo "somma di a(x) e b(x)" il polinomio:
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L'elemento neutro rispetto all'addizione è il polinomio nullo, i.e. il polinomio avente tutti i coefficienti nulli:

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L'elemento opposto di a(x) è

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