[¯|¯] Composizione di rotazioni nello spazio euclideo

Dicembre 16th, 2016 | by Marcello Colozzo |

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Supponiamo di ruotare un vettore ξ=(x,y,z) di R³ attorno all'asse x di un angolo θ₁. Il vettore risultante viene poi ruotato attorno all'asse z di un angolo &theta₁. La prima rotazione è realizzata da

endomorfismi,omomorfismi,singolari, rotazioni,matrice di rotazione

mentre la seconda rotazione

avendo applicato la definizione di prodotto di endomorfismi. Se invertiamo l'ordine delle rotazioni, si avrà:

Chiediamoci: il risultato della composizione delle predette rotazioni è indipendente dall'ordine in cui esse sono eseguite? Per rispondere a questa domanda osserviamo innanzitutto che tale ordine è indipendente se e solo se:

Cioè se e solo se

Per formalizzare il risultato precedente è conveniente la seguente definizione valida per un qualunque spazio vettoriale E:

Comunque prendiamo due endomorfismi A e B di uno spazio vettoriale E, si dice commutatore di A e B, l'endomorfismo: