[¯|¯] Composizione di rotazioni nello spazio euclideo

Dicembre 16th, 2016 | by Marcello Colozzo |

spazio euclideo,composizione di rotazioni,matrice di rotazione,commutatore


Supponiamo di ruotare un vettore ξ=(x,y,z) di R³ attorno all'asse x di un angolo θ1. Il vettore risultante viene poi ruotato attorno all'asse z di un angolo &theta1. La prima rotazione è realizzata da

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mentre la seconda rotazione

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avendo applicato la definizione di prodotto di endomorfismi. Se invertiamo l'ordine delle rotazioni, si avrà:

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Chiediamoci: il risultato della composizione delle predette rotazioni è indipendente dall'ordine in cui esse sono eseguite? Per rispondere a questa domanda osserviamo innanzitutto che tale ordine è indipendente se e solo se:

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Cioè se e solo se

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Per formalizzare il risultato precedente è conveniente la seguente definizione valida per un qualunque spazio vettoriale E:

Comunque prendiamo due endomorfismi A e B di uno spazio vettoriale E, si dice commutatore di A e B, l'endomorfismo:

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