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[¯|¯] Interpretazione intuitiva dell'integrale curvilineo di una funzione

Novembre 29th, 2016 | by Marcello Colozzo |

integrale curvilineo,funzione continua,rappresentazione parametrica,rappresentazione naturale

Fig. 1


In una lezione precedente abbiamo stabilito che
integrale curvilineo,funzione continua,rappresentazione parametrica,rappresentazione naturale

con ovvio significato dei simboli. Tale relazione non fa altro che ridurre un integrale curvilineo a un integrale definito o, ciò che è lo stesso, l'integrazione lungo un arco di curva all'integrazione lungo un segmento. Infatti, la rappresentazione parametrica naturale
integrale curvilineo,funzione continua,rappresentazione parametrica,rappresentazione naturale

stabilisce una corrispondenza biunivoca tra i punti dell'arco γ(P,Q) e i punti dell'intervallo [α,β], come illustrato in fig. 1, in cui è tracciato il grafico della funzione g(s):

integrale curvilineo,funzione continua,rappresentazione parametrica,rappresentazione naturale

Il passaggio dalla rappresentazione naturale alla rappresentazione parametrica non naturale:

integrale curvilineo,funzione continua,rappresentazione parametrica,rappresentazione naturale

implica il cambio di variabile s=s(t) nell'integrale a secondo membro dell'equazione che definisce l'integrale curvilineo.









Precisamente:

integrale curvilineo,funzione continua,rappresentazione parametrica,rappresentazione naturale

dove, ricordiamolo, va preso il segno + se la funzione s(t) è strettamente crescente, altrimenti prendiamo il segno -. Quindi:

  • s(t) è strettamente crescente.
    Gli estremi di integrazione mutano in
    integrale curvilineo,funzione continua,rappresentazione parametrica,rappresentazione naturale

    per cui
    integrale curvilineo,funzione continua,rappresentazione parametrica,rappresentazione naturale

    dove
    integrale curvilineo,funzione continua,rappresentazione parametrica,rappresentazione naturale
  • s(t) è strettamente decrescente.
  • Gli estremi di integrazione mutano in

    integrale curvilineo,funzione continua,rappresentazione parametrica,rappresentazione naturale

    per cui
    integrale curvilineo,funzione continua,rappresentazione parametrica,rappresentazione naturale

    Ne concludiamo
    integrale curvilineo,funzione continua,rappresentazione parametrica,rappresentazione naturale

Scarica l'intera lezione in formato pdf.

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