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Dimostrazione per assurdo del Teorema di unicità del limite

Febbraio 10th, 2016 | by Marcello Colozzo |

Oltre alla consueta dimostrazione del Teorema di unicità del limite, quest'articolo contiene una routine in Mathematica per generare una istruttiva animazione grafica per la predetta dimostrazione.

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In addition to the usual proof of the Theorem on uniqueness of limits, this article contains a routine in Mathematica to generate an instructive graphic animation for the aforementioned demonstration.

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Se f è una funzione reale definita in X sottoinsieme del campo reale e x₀ un punto di accumulazione (al finito o all'infinito) per X.
Definizione
Si dice che f è regolare in x0 se è ivi dotata di limite (infinito o infinito). Nel caso contrario, si dice che è f è non regolare in x0.

Nel caso di non regolarità è consuetudine dire, sia pur impropriamente, che in x0 il limite di f non esiste. Per le funzioni regolari, sussiste il teorema di unicità del limite:

Dimostrazione.
Procediamo per assurdo, negando la tesi (senza perdita di generalità supponiamo che x₀ sia di accumulazione al finito e che la funzione sia convergente):

Per definizione di limite:

Cioè:

da cui la disuguaglianza assurda |l-l'|<|l-l'|, onde la tesi. c.d.d.

Da un punto di vista numerico/computazionale possiamo verificare tale teorema nel caso di una funzione assegnata, per poi assegnare il valore di l'. Con Mathematica, ad esempio, otteniamo l'animazione grafica riportata al top in cui vediamoche per l' la definzione di limite è violata. Qui il file pdf contenente il codice Mathematica.

Scarica la dim. del teorema in PDF

Tags: dimostrazione per assurdo, funzioni, limiti, Teorema di unicità del limite

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