Definizione Un'applicazione f:S->S' si dice suriettiva (o surgettiva o che è una surgezione) se f(S)=S', cioè se ogni elemento x' di S' proviene, attraverso f, da un elemento x di S.
Questi esempi mostrano applicazioni surgettive.
Definizione Un'applicazione f:S->S' si dice iniettiva se
cioè se la controimmagine di ogni elemento di f(S) è costituita da un solo elemento. Ne consegue che se f è iniettiva, ogni elemento di x di f(S) proviene da un solo elemento x di S. Posto
si ha
Esempio Denotiamo con N l'insieme degli interi naturali. Sia data l'applicazione che a ogni intero n associa il doppio 2n:
Segue
cioè l'immagine di N mediante f è l'insieme dei numeri pari:
Determiniamo la controimmagine:
onde
Ne concludiamo che f è iniettiva.
Definizione Un'applicazione f:S->S' si dice bi-iettiva o che è una bi-iezione se è suriettiva e iniettiva.
Applicazione identica e applicazione costante
Definizione Comunque prendiamo un insieme S non vuoto, dicesi applicazione identica, l'applicazione:
cioè l'applicazione che associa a ogni elemento x di S, l'elemento medesimo.
Riesce
da cui la bi-iettività di eS. Definizione Un'applicazione f:S->S' si dice costante se
cioè se ogni elemento x di S muta mediante f, in un elemento fisso di f(S).