[¯|¯] La funzione "fattoriale della parte intera di x"
Settembre 19th, 2014 | by extrabyte |
Il fattoriale di n (o n fattoriale) è un argomento di Calcolo combinatorio, ma trattandosi di una successione ricorsivamente definita vale la pena trattarlo in questa sezione.
Definizione
Assegnato un qualunque intero positivo n, si chiama fattoriale di n (o n fattoriale) e si denota con n!, il prodotto dei primi n interi. Cioè:

Tale definizione si estende a n=0, ponendo:

Il fattoriale di n è una successione di elementi di N:

Come anticipato, è una successione ricorsivamente definita, giacchè:

avendo denotato con yn il termine n-esimo della predetta successione, ovvero

Abbiamo, quindi, la seguente legge di ricorrenza:

In figura riportiamo il "grafico" della successione, da cui vediamo la rapida crescita di n!.

Esercizio
Tracciare il grafico della funzione:

Soluzione
Come vedremo più avanti, la funzione assegnata è una funzione composta. Assegnato un numero reale x si determina la parte intera [x], dopodichè il suo valore assoluto, quindi il fattoriale. Abbiamo per n intero naturale positivo:

In maniera simile:

Esplicitiamo alcuni valori di n:

A questo punto siamo in grado di tracciare il grafico della funzione per x appartenente a [-4,4], come vediamo in fig. 1

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Tags: fattoriale della parte intera di x, fattoriale di n, n fattoriale, successioni ricorsive
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