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[¯|¯] Pursuit problem e l'equazione differenziale di Emden-Fowler

Maggio 3rd, 2014 | by Marcello Colozzo |

Pursuit problem significa Problema di inseguimento.

Ecco un esempio suggestivo. Abbiamo un recinto quadrato: in A si trova un contadino, in B un maiale e in C l'unica uscita dal recinto. Il maiale vuole scappare e corre in linea retta in direzione dell'uscita. Il contadino corre per riacchiapparlo, con velocità diretta sempre verso il maiale. Più precisamente, il vettore velocità del contadino è diretto in ogni istante verso la posizione corrente del maiale (quindi il contadino non “anticipa” il movimento del maiale, ma corre “istantaneamente” verso il maiale medesimo). Entrambi corrono a velocità costante (per il contadino solo in modulo).
Nell'immagine seguente è riportata la traiettoria seguita dal contadino che riesce ad "acchiappare" il maiale all'uscita C.

Per la risoluzione di questo problema ho impostato un'equazione differenziale imponendo una "condizione di inseguimento", come possiamo vedere dalla figura seguente:

Cioè:

che è l'equazione differenziale della traiettoria. Qui beta è il rapporto tra la velocità u (in modulo) del maiale e la velocità v del contadino. Integrando questa equazione differenziale è facile vedere che deve essere v/u pari alla sezione aurea. Ciò implica che, in realtà, la traiettoria del contadino è un arco di spirale aurea.

Esiste, dunque, un legame tra questo particolarissimo problema di cinematica e la "famosa" sezione aurea. Ho dato un'occhiata in rete e ho visto che c'è una letteratura sterminata su questo problema. Sembra addirittura che se ne occupò Leonardo da Vinci...

Negli anni della guerra fredda se ne occupò la RAND Corporation (per ovvi motivi). Ad esempio, nel 1956 apparve sulla rivista http://www.jstor.org/ un articolo che trattava un problema di inseguimento di un caccia verso un bombardiere che non eseguiva manovre evasive:

Verso la metà degli anni Settanta il fisico R. Dicke perfezionò la tecnica di inseguimento utilizzando sensori all’infrarosso. L’obiettivo veniva individuato attraverso la radiazione infrarossa emessa dal bersaglio, che tipicamente è un “corpo caldo”. L’inseguimento era invece realizzato mediante un laser a bassa energia.
Le armi ad inseguimento vennero utilizzate durante la guerra del Vietnam. E, spesso, i proiettili ad inseguimento anziché colpire un bersaglio umano, inseguivano un animale. Ciò non deve soprendere, perché quest’ultimo emette uno spettro all’infrarosso molto simile a quello umano.

Al di là dei possibili metodi di soluzione del problema di inseguimento, ciò che lascia perplessi è la conoscenza della velocità del bersaglio. In altri termini, se si conosce tale velocità è "più facile" risolvere un problema di intercettazione. Nel grafico seguente mostriamo i due casi (la curva è la traiettoria di inseguimento, mentre il segmento di retta si riferisce alla rotta di intercettazione).

È possibile svincolarsi dalla velocità del bersaglio? Ho provato a "tirar fuori" una nuova equazione. Questa volta è un'equazione differenziale del terzo ordine non lineare, riducibile a un'equazione del secondo ordine:

E, cosa curiosa, non contiene nemmeno la velocità dell'inseguitore. Grazie ad un suggerimento del Dr. Davide Iannone (fondatore del Progetto Aleph è possibile approssimare la suddetta equazione a quest'altra:
.
Si tratta dell'equazione di Emden-Fowler Generalizzata come risulta dal testo Exact Solutions of Ordinary Differential Equations:

(Per la cronaca: equazioni di questo tipo sono state studiate all'inizio del 1900. In particolare, la famosa equazione di Lane-Emden per l'equilibrio idrostatico gravitazionale di una stella).

Arrivati a questo punto, è preferibile approfondire il procedimento di ricerca di soluzioni asintotiche dell'equazione di Emden-Fowler Generalizzata:

Di seguito uno screenshot di come avevo impostato il problema:

In realtà, la "faccenda" è più complicata, come - appunto - mi ha fatto notare Iannone in questo suggerimento.
Per ora, questo problema è in "standby" e preferisco concludere l'articolo per la rivista Scientia inserendo il suggerimento del Dr. Iannone per la ricerca di soluzioni asintotiche dell'equazione di E-F.

Tags: Equazione differenziale di Emden Fowler, Equazioni differenziali, problema di inseguimento, Pursuit problem

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