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[¯|¯] Soluzioni Approssimate Locali per un Problema ai Limiti su un'Equazione di Emden-Fowler Generalizzata, e loro Prolungamento Regolare in Condizioni Asintotiche

Riceviamo e pubblichiamo come pre-print (la pubblicazione definitiva sarà sulla rivista di sintesi scientifica Scientia) un articolo del Dr. Davide Iannone, fondatore di Progetto Aleph, in relazione al Problema di Inseguimento. Il testo che segue è uno stralcio dell'articolo (scaricabile in formato PDF al termine del post), parzialmente riadattato poichè il plugin che permette l'utilizzo di LaTeX nell'editor del blog, non riconosce i comandi per i riferimenti incrociati.

Ecco il testo:

Consideriamo il seguente problema ai limiti:

$\begin{equation}\label{probl-normal}\begin{split}& \chi'' = \frac{\chi}{1+\chi^2}(\chi')^2 - \frac{1}{x}\chi' \\& \lim_{x\to 0^+} \chi(x) = -\infty\\& \lim_{x\to 1^-} \chi(x) = 0\end{split}\end{equation}$

su una grandezza $\chi$, espressa come una funzione almeno di classe $\mathcal{C}^2((0,1),\mathbb{R})$.

Nel presente lavoro ci si limita a fare considerazioni sul seguente problema:

$\begin{equation}\begin{split}& \chi'' = \frac{\chi}{1+\chi^2}(\chi')^2 - \frac{1}{x}\chi' \\&\lim_{x\to 0^+} \chi(x) = -\infty\\& \lim_{x\to 1^-} \chi(x) = 0\end{split}\end{equation}$
Innanzitutto ciò che si osserva è il seguente comportamento asintotico:

$$\frac{\chi}{1+\chi^2}(\chi')^2 \sim \frac{(\chi')^2}{\chi},\quad x\to 0^+$$

per cui in un intorno destro dello zero possiamo eseguire una semplificazione sulla parte considerata del problema ai limiti, porgendo:

$\begin{equation}\label{probl-normal-simply}\begin{split}& \chi'' = \frac{(\chi')^2}{\chi} - \frac{1}{x}\chi' \\ & \lim_{x\to 0^+} \chi(x) = -\infty\end{split}\end{equation}$

Nella formula precedente l'equazione differenziale è appartenente alla classe delle equazioni di Emden-Fowler
generalizzate, come riportato in Handbook of Exacts Solutions of Ordinary Differential Equations, essendo queste ultime della forma

$\begin{equation}\label{E-F}y'' = Ax^{n_1}y^{m_1}{y'}^{k_1} + Bx^{n_2}y^{m_2}{y'}^{k_2}<br /> \end{equation}$

dove: $A,B$ sono funzioni dipendenti da parametri, i quali si assume siano indipendenti da $x,y,y'$. Nel caso specifico dell'equazione $\chi'' = \frac{(\chi')^2}{\chi} - \frac{1}{x}\chi'$ è:

$\begin{equation}\label{comb-coeff-1}A = 1, n_1 = 0, m_1 = -1, k_1 = 2, B = -1, n_2 = -1, m_2 = 0, k_2 = 1\end{equation}$

Tuttavia, con la combinazione dei coefficienti data dalla formula precedente non esibisce soluzioni generali. Non è noto se ciò è dovuto al fatto che tali soluzioni non esistono (è dimostrabile?), e confrontando altre specifiche casistiche con la presente, non sono riuscito a ricondurla ad uno schema noto per la risoluzione esatta dell'equazione $\chi'' = \frac{(\chi')^2}{\chi} - \frac{1}{x}\chi'$.

Curiosamente, però, se si indebolisce la condizione su $m_2$ nell'equazione dei coefficienti, non vincolandolo ad alcun valore particolare, si ottiene un'equazione differenziale parametrica (il parametro essendo $m_2$), sulla quale si impone la condizione asintotica stabilita in precedenza sicchè è significativo considerare il problema seguente

$\begin{equation}\label{probl-normal-simply-2}\begin{split}& \chi'' = \frac{(\chi')^2}{\chi} - \frac{1}{x}\chi^{m_2}\chi' \\& \lim_{x\to 0^+} \chi(x) = -\infty\end{split}\end{equation}$

poichè per la prima delle precedenti risulta che il testo citato più sopra esibiscela soluzione generale espressa
nella forma di funzione inversa:

$\begin{equation}\label{soluz-inversa-probl-normal-2}x(\chi) = C_1\exp\{J(\chi)\},\quad<br /> J(\chi) = \int_{\chi_0}^{\chi} \frac{d\eta}{\eta(C_2 + \ln(\eta) - \frac{1}{m_2}\eta^{m_2})}\end{equation}$

dove $C_1,C_2$ sono costanti arbitrarie.

L'idea alla base di questo articolo è i approssimare detta soluzione generale, "adattandola" al caso di $m_2 = 0$ secondo le modalità discusse nel seguito.