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Criterio generale di convergenza uniforme o criterio di Cauchy

giovedì, Novembre 4th, 2021

serie di funzioni,criterio generale di convergenza uniforme,criterio di Cauchy

È la generalizzazione alle serie di funzioni di questo criterio (condizione necessaria e sufficiente).

Dim.

La condizione è necessaria
Per ipotesi la serie è uniformemente convergente. Quindi


Ne segue


La condizione è sufficiente
Per un assegnato n

quindi l'uniforme convergenza, giacché νε per ipotesi non dipende da x.

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Serie di funzioni. Convergenza puntuale e convergenza uniforme

mercoledì, Novembre 3rd, 2021

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Fig. 1

Fino a questo momento abbiamo considerato serie numeriche; precisamente, a una successione di elementi di R:


possiamo associare la serie numerica

Nulla ci impedisce di generalizzare tale nozione alle funzioni. A tale scopo, consideriamo una successione di funzioni reali della variabile reale x:

definite in un assegnato insieme X (sottoinsieme di R). A tale successione possiamo associare la serie di funzioni


Definizione
La serie di funzioni (v. eq. sopra) è convergente nell'insieme X se comunque prendiamo x0 in X, è convergente la serie numerica


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