Dal piccolo guadagno al cerchio

venerdì, Agosto 7th, 2020

piccolo guadagno,diagramma di Nyquist,loop transformation — **Fig. 1**

Si consideri il sistema:

Per poter applicare il teorema del piccolo guadagno occorre che la nonlinearità appartenga al settore [-r₂,r₂]; pertanto, ponendo r₂=k/2, occorre effettuare le loop trasformation di Figura 1 che permettono di passare dal settore Φ_[0,k] al settore Φ_[-k/2,k/2].
Sotto queste ipotesi si vede che la condizione ||H₁(s)||_oo·r₂ < 1 si può riscrivere

che, valutata per s=jω, diventa:

con

Si è ottenuta quindi una condizione sufficiente per la stabilità assoluta individuando nel piano di Nyquist una regione cui deve appartenere il diagramma di G(jω): il soddisfacimento della (1) equivale a dire che

ovvero che la funzione

deve essere strettamente reale positiva. (altro…)

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Criterio del cerchio. Loop transformation

giovedì, Agosto 6th, 2020

Criterio del cerchio

Il criterio del cerchio consente di studiare la stabilità assoluta utilizzando solamente il diagramma di Nyquist di G(jω). Dato il diagramma possono essere determinati facilmente i settori ammissibili per i quali l'origine è assolutamente stabile. Si mostrerà solo il caso in cui la funzione non lineare appartiene al settore [0,+oo) in quanto è sempre possibile riportarsi a questo caso operando delle opportune trasformazioni, come descritte nel prossimo paragrafo. Si analizzerà prima il caso del settore [0,k], valutando in seguito come varia il risultato facendo tendere k ad infinito.

Loop transformation

Si vuole mostrare che è sempre possibile, tramite opportune trasformazioni, ricondursi allo studio delle nonlinearità appartenti al settore [0,+oo), potendo così limitarsi allo studio delle proprietà dei sistemi passivi.

Si consideri il sistema di Figura 1 con Σ_LTI descritto dalla funzione di trasferimento G(σ) e con φ appartenente a Φ_[k1,k2]. Si effettuino le trasformazioni descritte nella Figura 2 che vengono indicate come loop transformation [1].