Kalman-Yakubovic-Popov Lemma | » Esercizi svolti di Matematica e Fisica

"Positive Real" Lemma o "Kalman-Yakubovic-Popov" Lemma

martedì, Agosto 4th, 2020

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Definiamo la passività per i sistemi dinamici, rappresentati in forma di stato

dove f:Rⁿ×R^p -> Rⁿ è localmente Lipschitz, h:Rⁿ×R^p -> Rⁿ è continua, f(0,0)=0 e h(0,0)=0. Il sistema ha lo stesso numero di ingressi e uscite. Il sistema si dice passivo rispetto ad una funzione di alimentazione s(t)=u^Ty se l'energia assorbita in un qualsiasi intervallo di tempo [0,t] è maggiore o uguale dell'incremento dell'energia accumulata dal sistema nello stesso intervallo di tempo. Tale definizione è mutuata dalla teoria dei circuiti: in una rete elettrica composta da resistori, induttanze e condensatori l'energia accumulata nei condensatori e negli induttori è inferiore o, al più, uguale all'energia fornita dai generatori. Detta energia è pari all'integrale sul periodo considerato del prodotto fra la tensione applicata e la corrente erogata. Se si definisce la tensione come ingresso e la corrente come uscita (o viceversa) si può dire che la rete elettrica (ovvero l'inpedenza equivalente) è passiva rispetto all'alimentazione s(t)=v(t)i(t). Il concetto di passività può essere esteso ad una rete multiporte se si applica ad ogni porta la definizione di ingresso e uscita vista. In tal caso la funzione di alimentazione è il prodotto scalare del vettore degli ingressi per il vettore delle uscite.

Astraendo dalla natura fisica del sistema si può definire passivo un sistema per cui
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