"Positive Real" Lemma o "Kalman-Yakubovic-Popov" Lemma

Agosto 4th, 2020 | by Gianluca Angelone |

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Definiamo la passività per i sistemi dinamici, rappresentati in forma di stato

dove f:Rⁿ×R^p -> Rⁿ è localmente Lipschitz, h:Rⁿ×R^p -> Rⁿ è continua, f(0,0)=0 e h(0,0)=0. Il sistema ha lo stesso numero di ingressi e uscite. Il sistema si dice passivo rispetto ad una funzione di alimentazione s(t)=u^Ty se l'energia assorbita in un qualsiasi intervallo di tempo [0,t] è maggiore o uguale dell'incremento dell'energia accumulata dal sistema nello stesso intervallo di tempo. Tale definizione è mutuata dalla teoria dei circuiti: in una rete elettrica composta da resistori, induttanze e condensatori l'energia accumulata nei condensatori e negli induttori è inferiore o, al più, uguale all'energia fornita dai generatori. Detta energia è pari all'integrale sul periodo considerato del prodotto fra la tensione applicata e la corrente erogata. Se si definisce la tensione come ingresso e la corrente come uscita (o viceversa) si può dire che la rete elettrica (ovvero l'inpedenza equivalente) è passiva rispetto all'alimentazione s(t)=v(t)i(t). Il concetto di passività può essere esteso ad una rete multiporte se si applica ad ogni porta la definizione di ingresso e uscita vista. In tal caso la funzione di alimentazione è il prodotto scalare del vettore degli ingressi per il vettore delle uscite.

Astraendo dalla natura fisica del sistema si può definire passivo un sistema per cui

dove V(x) è la funzione energia (storage function) del sistema ed è semidefinita positiva e differenziabile con continuità. In alternativa si può dire che un sistema è passivo [1] se

Se si considera nelle equazioni appena scritte, una funzione di alimentazione S(u,y) definita positiva, il sistema si definisce dissipativo rispetto alla funzione di alimentazione S.
Tralasciando ulteriori e particolari definizioni vale la pena ricordare che un sistema si dice

senza perdite se
strettamente passivo se

con ψ(x) definita positiva, sempre per ogni (x,u)

Se il sistema è lineare tempo invariante può essere espresso dalla funzione di trasferimento

Una funzione di trasferimento G(s) è detta reale positiva (PR) [2] se

Per i sistemi lineari tempo invarianti passivi si ha quindi che:

La condizioni necessarie e sufficienti per caratterizzare una funzione di trasferimento in terminini di positività/passività sono date dal seguente Positive Real Lemma [2]

Lemma (Positive Real Lemma o Kalman-Yakubovic-Popov Lemma)

Si consideri il sistema

Si assuma controllabile ed osservabile. La sua funzione di trasferimento

con

segue che

è Reale Positiva (PR) se e solo se esistono delle matrici

tali che:

La prima versione del KYP Lemma fu pubblicata da Yakubovic yakubovic nel 1962, con D=0 [2].
Le equazioni precedenti possono essere riscritte in forma di diseguaglianza matriciale (Linar Matrix Inequality LMI):