[¯|¯] L'ipotesi di Riemann è una necessità logica

lunedì, Settembre 9th, 2019

congettura di riemann,ipotesi di riemann, numeri primi — **Fig. 1**

Nel post precedente abbiamo euristicamente visto che la parte reale degli zeri della funzione zeta di Riemann, è pari a 1/2. In tal modo è automaticamente garantita la realtà della funzione che determina i "salti" della distribuzione dei primi. Il problema è che avendo infiniti termini, tale condizione sembrerebbe sufficiente ma non necessaria, nel senso che pur avendo parti reali diverse da 1/2 e quindi termini complessi (i.e. non reali), questi potrebbero cancellarsi nell'operazione di passaggio al limite che determina la somma della serie.
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[¯|¯] Dimostrazione euristica della Congettura di Riemann

domenica, Settembre 8th, 2019

congettura di riemann,dimostrazione euristica,formula di riemann von mangoldt

Nel 1859 Riemann propose una formula esatta per la distribuzione dei numeri primi (π(x), ovvero il numero di primi nell'intervallo [0,x]). A differenza delle precedenti (trovate anche da Gauss e Lagrange) che fornivano un'approssimazione in media, quest'ultima riproduceva le discontinuità della π(x). La formula venne dimostrata nel 1895 da Von Mangoldt.

Nella formula compare una funzione reale f(x) espressa attraverso la somma di una serie in cui compare π(x), la quale ultima viene ottenuta attraverso la formula di inversione di Möbius. Viene poi utilizzata un'approssimazione per la f(x) che contiene una somma sugli zeri non banali della funzione zeta di Riemann. Tenendo conto delle proprietà di simmetria di quest'ultimi e imponendo la realtà di f(x), si ottiene la condizione Re(ρ)=1/2 che come è noto, rappresenta l'enunciato della congettura di Riemann.
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