» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Indicatore degli zeri della zeta di Riemann non appartenenti alla retta critica

Il teorema dell'indicatore logaritmico applicato alla funzione ξ(s) di Riemann, consente di definire una sorta di rivelatore di zeri non appartenenti alla retta critica (funzione reale di due variabili reali), della funzione zeta di Riemann. Tale proprietà deriva dal considerare un dominio rettangolare contenuto nella striscia critica. Uno dei lati di tale dominio è controllato da un parametro δ variabile in [0,1/2). Se tale parametro "inciampa" in uno zero non appartenente alla retta critica, il rivelatore di zeri si presenta nella forma indeterminata oo-oo. Al contrario, se l'ipotesi di Riemann è vera, il rivelatore è libero da indeterminazione.

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[¯|¯] Il lato oscuro dello sviluppo di Hadamard

Per quanto stabilito nel numero precedente, lo sviluppo di Hadamard non fornisce alcun risultato utile circa la congettura di Riemann. Anzi, sembra suggerirne una negazione giacché ci si aspetta una parte reale degli zeri non banali variabile nell'intervallo aperto (0,1) e non identicamente pari a 1/2. In ogni caso, rimangono alcuni lati oscuri riguardo la convergenza del prodotto infinito in cui la funzione ξ è fattorizzata. Stiamo parlando dei singoli fattori in cui la variabile z non dipende dall'indice della produttoria. Per essere più specifici, il singolo fattore contiene la funzione -z moltiplicata per il reciproco del k-esimo zero non banale. Imponendo la convergenza assoluta è necessario lavorare sulle corrispodenti serie di funzioni, che per quanto precede non sono tali nel senso che si riducono al prodotto di -z per una serie numerica (e quindi, nono di funzioni) i cui termini sono i reciproci degli zeri non banali.
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