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Studio di un integrale generalizzato

Novembre 13th, 2020 | by Marcello Colozzo |

integrali generalizzati,funzioni integrabili,funzioni sommabili


Sia f(x)=0 una funzione continua in [a,b], derivabile due volte in (a,b) con derivate continue. Se ξ è un punto interno di [a,b] ed è uno zero di f(x), necessariamente è un punto di minimo relativo, con f''(ξ) ≥ 0 (derivata seconda non negativa). Preso ad arbitrio un punto x0 interno ad [a,b], ci proponiamo di studiare il comportamento del seguente integrale generalizzato


il cui estremo superiore di integrazione è un'evidente punto di discontinuità di seconda specie per la funzione integranda. Quest'ultima è comunque integrabile in [x0,xi;] giacché ha ivi segno costante. Per essere più specifici:

Per discutere la sommabilità applichiamo un noto criterio, che consiste nel determinare l'eventuale ordine di infinito dell'integrando nel predetto punto di discontinuità. Si tratta di studiare la seguente operazione di passaggio al limite:


Poniamo


Se α=1

Quindi:

  • L'integrando è per ξ-, un infinito del primo ordine:
  • L'integrando è per ξ-, un infinito di ordine maggiore di 1:

Segue che l'integrando è per ξ-, un infinito di ordine maggiore o uguale di 1. Ne concludiamo che tale funzione non è sommabile in [x0,ξ].

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