Posizioni di equilibrio (meccanica analitica)

Novembre 12th, 2020 | by Marcello Colozzo |

Ricordiamo che x₀=x(t₀) è la posizione iniziale della particella. Precisamente, avevamo impostato il problema di Cauchy

Dal momento che

si ha

dove F(x)=-V'(x) è la forza agente sulla particella. Supponiamo che la posizione iniziale x₀ sia uno zero di f(x) i.e. f(x₀)=0. Quindi l'integrale generalizzato

Se si annulla anche la derivata prima:

cioè è nulla anche la forza. Ne segue che x(t)=x₀ è l'unica soluzione del predetto problema di Cauchy. Ciò discende da una nota proprietà delle equazioni differenziali a variabili separabili. Infatti, l'equazione differenziale in istudio equivale a quest'altra

Prima di separare le variabili, si ricercano gli eventuali zeri del secondo membro, cioè x₀ giacchè stiamo ipotizzando proprio questo. D'altra parte, x₀ è la condizione iniziale del problema, onde l'unica soluzione x(t)=x₀. Ne concludiamo che la particella rimane in quiete in tale punto, che prende il nome di posizione di equilibrio.

No TweetBacks yet. (Be the first to Tweet this post)