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[¯|¯] Densità degli zeri della funzione zeta di Riemann

Ottobre 8th, 2019 | by Marcello Colozzo |

funzione zeta di Riemann,zeri,densità degli zeri, retta critica
Fig. 1

Riprendiamo lo sviluppo in serie della π0(x)


rammentando che N'0 < +oo è il numero di coppie di zeri (ηn,1-ηn*) non appartenenti alla retta critica rcrit. La funzione HN'0(x) si esprime come

essendo









Qui ψn(1)(x) e ψn(2)(x) sono a loro volta somme di serie di funzioni in cui compare la parte reale dell'esponenziale integrale paramentricamente dipendente dagli zeri ηn e ρn, ove questi ultimi sono tutti e soli quelli appartenenti alla retta critica. È chiaro che il pedice RH si riferisce all'ipotesi di Riemann, giacché il termine HN'0(x) si riduce a HRH(x) assumendo la predetta ipotesi, giacché N'0. Inoltre

Più precisamente, avendo adottato l'enumerazione illustrata in fig. 1, si ha per ciò che riguarda la somma parziale di ordine finito:

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