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[¯|¯] Integrale generalizzato dipendente da un parametro

Febbraio 19th, 2019 | by Marcello Colozzo |

integrale generalizzato,parametro,integrabilità
Fig. 1


Esercizio
Discutere l'integrale generalizzato di fig. 1, dove x0 è un numero reale fissato ad arbitrio , mentre h,α sono parametri reali e positivi.


Soluzione
Si tratta di studiare la sommabilità della funzione positiva

nell'intervallo [x0-h,x0+h]. Tale funzione è graficata in fig. 1. Risulta











Prendiamo la successione di intervalli {Tn}; per essere più precisi, Tn è l'unione di due intervalli:


Segue


e


Calcoliamo a parte i due integrali:

Eseguiamo il cambio di variabile


onde


Per α diverso da 1:


Per α=1:


Riassumendo


Passiamo all'altro integrale, che può essere scritto come

Eseguiamo il cambio di variabile

per cui

Per α diverso da 1:

Per α=1:


Riassumendo


Poniamo


Segue

Osservando che


si ha per α > 1

Conclusione



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