[¯|¯] Integrale generalizzato dipendente da un parametro
Febbraio 19th, 2019 | by Marcello Colozzo |Esercizio
Discutere l'integrale generalizzato di fig. 1, dove x0 è un numero reale fissato ad arbitrio , mentre h,α sono parametri reali e positivi.
Soluzione
Si tratta di studiare la sommabilità della funzione positiva
nell'intervallo [x0-h,x0+h]. Tale funzione è graficata in fig. 1. Risulta
Prendiamo la successione di intervalli {Tn}; per essere più precisi, Tn è l'unione di due intervalli:
Segue
e
Calcoliamo a parte i due integrali:
Eseguiamo il cambio di variabile
onde
Per α diverso da 1:
Per α=1:
Riassumendo
Passiamo all'altro integrale, che può essere scritto come
Eseguiamo il cambio di variabile
per cui
Per α diverso da 1:
Per α=1:
Riassumendo
Poniamo
Segue
Osservando che
si ha per α > 1
Conclusione
Sostienici
Puoi contribuire all’uscita di nuovi articoli ed e-books gratuiti che il nostro staff potrà mettere a disposizione per te e migliaia di altri lettori.
No TweetBacks yet. (Be the first to Tweet this post)
Articoli correlati