[¯|¯] Studio di un integrale (ipotesi di Riemann)

giovedì, Settembre 19th, 2019

integrale generalizzato,convergenza,ipotesi di riemann — **Fig. 1**

L'integrale riportato in fig. 1 (k è un indice di somma), potrebbe avere effetti devastanti sullo sviluppo in serie della funzione trovata da Riemann, che definisce la legge di distribuzione dei numeri primi. Il contributo del predetto integrale è trascurabilmente piccolo nel limite dei "piccoli" k. Ma al crescere indefinito di tale indice (k->+oo), l'integrale diverge, mandando a gambe per aria il corrispondente sviluppo in serie.
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[¯|¯] Criterio 4 di sommabilità (utile per gli esercizi)

martedì, Febbraio 26th, 2019

integrale generalizzato,criteri di sommabilità,esercizi

I teoremi dimostrati nei numeri precedenti si riferiscono a funzioni generalmente continue in un intervallo limitato. Passiamo ora al caso di una funzione continua definita in un intervallo illimitato.

Criterio 4
e la funzione f(x) continua nell'intervallo illimitato X, verifica la disuguaglianza

allora f(x) è sommabile in X. Viceversa, se

f(x) non è sommabile in X.

Dim.

Da quest'esempio segue che

è sommabile negli intervalli illimitati [x₀+h,+oo) e (-oo,x₀-h] essendo h > 0, con α=1. Ne consegue che la funzione

è sommabile in [h,+oo) e (-oo,-h]. Viceversa, se 0 < α < 1, la g_M(x) non è ivi sommabile.
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