[¯|¯] Battimenti generalizzati a una qualunque coppia di funzioni periodiche
Marzo 16th, 2017 | by Marcello Colozzo |In questo post tenteremo di generalizzare il fenomeno dei battimenti a una coppia di funzioni periodiche non sinusoidali. A tale scopo riassumiamo i risultati raggiunti.
Abbiamo visto che comunque prendiamo due funzioni sinusoidali
una qualunque combinazione lineare
è un battimento se è verificata la condizione
Senza perdita di generalità
avendo applicato le formule di prostaferesi, per poi definire le nuove frequenze:
Segue
dove
è un inviluppo di modulazione se è verificata la condizione
cioè se
Supponiamo ora che f1(x) e f2(x) non siano funzioni sinusoidali, ma comunque periodiche e denotiamo con T1 e T2 i rispettivi periodi. Se tali funzioni verificano le condizioni di Dirichlet, possiamo scrivere i singoli sviluppi in serie di Fourier:
I coefficienti ak,bk sono dati da:
Per f2(x):
con formule simili per i coefficienti di Fourier a'k,b'k. Ricordiamo che la somma f1(x)+f2(x) è una funzione periodica se e solo se i periodi hanno in comune un multiplo minimo. Diversamente, non ha senso parlare di serie di Fourier associata alla funzione f1(x)+f2(x). In ogni caso proviamo a troncare entrambi gli sviluppi a un conveniente ordine di approssimazione N, per poi sommarli:
Vediamo quindi che i termini delle sommatorie danno luogo a battimenti se ω1~ω2. A titolo di esempio, consideriamo una funzione del tipo "dente di sega"
e un'altra del tipo "onda quadra":
plottate in figura:
Si noti che tali funzioni sono periodiche con periodi leggermente diversi. La loro somma è plottata in fig.
Lo sviluppo in serie di Fourier della funzione a onda quadra, troncato al termine del quint'ordine è:
mentre lo sviluppo in serie di Fourier della funzione a denta di sega, troncato al termine del quint'ordine è:
La loro somma è plottata in fig. 1 (al top di questa pagina).
No TweetBacks yet. (Be the first to Tweet this post)
Tags: battimenti, formule di prostaferesi, Funzioni periodiche
Articoli correlati