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Limite di una funzione periodica (per x che tende all'infinito). Esempio di funzione non periodica ma non regolare all'infinito

Devo aver letto da qualche parte che la continuità di una funzione reale di una variabile reale rappresenta la soglia minima per l'onestà della funzione medesima. Ricordiamo che con tale termine si indica scherzosamente, ma efficacemente, la regolarità di una funzione, intesa come continuità, nonchè esistenza delle derivate (continue) fino ad un certo ordine n (in tal caso si dice che la funzione è di classe C^n sul suo campo di esistenza).

La soglia minima è, invece, rappresentata dalla regolarità intesa come esistenza del limite (finito o infinito). Prendiamo ad esempio, la funzione sin(x) che è onesta, in quanto di classe C^oo sul campo reale R. Ma se vogliamo attenerci alla definizione precedente, siamo costretti ad asserire che tale funzione non è onesta per |x|->+oo. Infatti, è facile convincersi che tale funzione è non regolare all'infinito, come illustrato nel seguente grafico

Tali considerazioni si generalizzano a una qualunque funzione periodica:

Teniamo conto, però, che l'implicazione non è invertibile:

Un esempio è offerto dalla funzione sin(x^2) manifestamente non periodica e al tempo stesso non regolare per |x|->+oo, come possiamo vedere dal grafico animato al top di quest'articolo.

Per i dettagli matematici, leggi file pdf

Tags: funzione sinx", Funzioni periodiche, limite all'infinito