[¯|¯] Applicazioni iniettive, suriettive, biiettive

Settembre 29th, 2014 | by extrabyte |

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Nella Lezione 2 abbiamo definito la nozione di funzione quale applicazione tra due insiemi qualsiasi non vuoti $X$ e $Y$ :
\begin{equation}
\underset
{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\longrightarrow
y,\,\,\,\,\forall x\in X}{f:X\rightarrow Y}%
\end{equation}
Ricordiamo che $X$ è l'insieme di definizione o dominio della funzione,
mentre il seguente sottoinsieme di $Y$ :

$f\left( X\right) =\left\{ y\in Y\mid y=f\left( x\right) \right\} ,$

è il codominio di $f$, detto anche immagine di

$X$ mediante

$f$ . Ciò premesso, sussistono le seguenti definizioni:

Definizione 1
L'elemento $y\in f\left( X\right)$ che corrisponde a $x$ , si dice immagine di $x$ mediante $f$ .

Definizione 2
Assegnato

$y\in f\left( X\right)$ consideriamo il sottoinsieme di

$X$ :
\begin{equation}
f^{-1}\left( y\right) =\left\{ x\in X\mid y=f\left( x\right) \right\}
\subseteq X,\label{eq: fibra}%
\end{equation}
che si chiama anti-immagine o immagine inversa di

$y$ mediante

$f$ . L'insieme (\ref{eq: fibra}) è chiamato anche fibra di

$f$ su

$y$ .

Definizione 3
L'applicazione $f:X\rightarrow Y$ è iniettiva se:
\begin{equation}
x^{\prime}\not =x^{\prime\prime}\Longrightarrow f\left( x^{\prime}\right)
\not =f\left( x^{\prime\prime}\right) \label{eq: iniettiva}%
\end{equation}
Cioè, $f$ è iniettiva se elementi distinti di $X$ hanno immagini distinte. Si noti che la (\ref{eq: iniettiva}) è equivalente a:
\begin{equation}
f\left( x^{\prime}\right) =f\left( x^{\prime\prime}\right) \Longrightarrow
x^{\prime}=x^{\prime\prime}%
\end{equation}