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[¯|¯] Funzioni reali di una variabile reale (Lezione n. 2 di Analisi Matematica 1)

settembre 13th, 2014 | by extrabyte |
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Nella Lezione precedente abbiamo definito il concetto di funzione. Prima di procedere aggiungiamo qualche "dettaglio".

Nel formalismo della teoria degli insiemi, una funzione f:X\rightarrow Y è un'applicazione di X in Y, nel senso della definizione dato nella lezione precedente. Resta poi definito il seguente sottoinsieme (non vuoto) di Y:

f\left(  Y\right)  \overset{def}{=}\left\{  y\in Y\mid y=f\left(  x\right),\,\,\,\,\forall x\in X\right\}  \subseteq Y,


che si chiama immagine di X mediante f. Sussistono le seguenti definizioni:

Definizione 1
f è suriettiva se e solo se f\left(  X\right)  =Y, cioè se e solo se:

\forall y\in Y,\,\,\,\exists x\in X\mid y=f\left(  x\right)

Definizione 2
f è iniettiva se e solo se

\left.  x_{1},x_{2}\in X,\,\,\,\,x_{1}\not =x_{2}\right)  \Longrightarrow f\left(  x_{1}\right)  \not =f\left(  x_{2}\right)


o, ciò che è lo stesso:

\left.  y_{1}=f\left(  x_{1}\right)  ,\,\,\,y_{2}=f\left(  x_{2}\right)\,\,\,\,\,y_{1}\not =y_{2}\right)  \Longrightarrow x_{1}\not =x_{2}%

Definizione 3
f è bi-iettiva (o è una bi-iezione) se e solo se è suriettiva e iniettiva.








In Analisi matematica 1 siamo interessati alle applicazioni (i.e. funzioni) f:X\rightarrow Y con X\subseteq\mathbb{R},\,\,\,Y\subseteq\mathbb{R}, dove \mathbb{R} è il campo reale. Per quanto visto nella Lezione precedente, X è l'insieme di definizione di f (o campo di esistenza o dominio).
L'immagine di X attraverso f, cioè f\left(  Y\right)  è il codominio della funzione f.

Nel formalismo della topologia, f:X\rightarrow Y è una trasformazione del sottoinsieme X di \mathbb{R} nel sottoinsieme f\left(  X\right)  di \mathbb{R}.

Esempio
Sia f la funzione che associa a ogni numero reale x il suo quadrato x^{2}. Cioè:
\begin{equation}
\underset{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\longrightarrow x^{2},\,\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}}{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}},\label{eq: xx}
\end{equation}
poichè è X=\mathbb{R}. Il codominio di f è f\left(\mathbb{R}\right)  =\left[  0,+\infty\right)  . Infatti risulta x^{2}\geq0,\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}. Ne concludiamo che la legge (\ref{eq: xx}) trasforma \mathbb{R} in \left[  0,+\infty\right).

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