» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Un approccio computazionale al NOISE

lunedì, Marzo 6th, 2017

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Introduzione. L'ipotesi ergodica

L'approccio standard allo studio del noise è di natura statistica. Più precisamente, si assume come ipotesi di lavoro la cosiddetta ipotesi ergodica che permette di sostituire la media temporale di una grandezza aleatoria y(t) con la media d'insieme:

dove Y è l'insieme dei valori assunti da y(t) e P(y,t) è la densità di probabilità: P(y0,t)dy è la probabilità infinitesima che una misura di y all'istante t fornisca un valore appartenente all'intervallo infinitesimo [y0,y0+dy]. Particolarmente diffusi sono processi aleatori stazionari, i.e. processi in cui la densità di probabilità non dipende esplicitamente dal tempo:

Per un processo aleatorio stazionario si ha

La stazionarietà di un processo aleatorio è una condizione necessaria (ma non sufficiente) per l'ergodicità. Più precisamente, un processo aleatorio è ergodico se le medie di insieme coincidono con le medie temporali:

dove

I processi aleatori che ci interessano sono ergodici, perciò per il calcolo dei valori medi ci riferiamo alla formula vista prima. Una grandezza statisticamente significativa è la varianza:

che nel caso di media nulla si riduce a . Risulta

cioè la potenza della grandezza y(t). Lo step successivo consiste nel descrivere l'evoluzione temporale di una variabile aleatoria y(t) attraverso la funzione di autocorrelazione

che si dimostra essere (teorema di Wiener-Khintchine
la trasformata di Fourier dello spettro di potenza w(ω), definito da

Cioè

Da queste formule appare chiaro che lo studio statistico del noise è fondamentalmente basato sull'analisi dello spettro di potenza.

Rinunciare all'ipotesi ergodica

Rinunciare all'ipotesi ergodica equivale a sostituire l'analisi nel dominio delle configurazioni all'analisi nel dominio del tempo. Sembra un'operazione impossibile proprio per come sono definite le variabili aleatorie. A questo punto ricordiamo la distinzione tra grandezze deterministiche e grandezze aleatorie:
Il valore di una grandezza deterministica y_det in un istante t' è univocamente determinato dal valore assunto in un generico istante t minore di t'. In simboli:

Per una grandezza aleatoria y_al il valore assunto in t' non è univocamente determinato dai valori assunti a tempi t minore di t'. Però può accadere:

essendo P(y_al(t')) la densità di probabilità di misurare il valore y_al(t'). Secondo le formule precedenti la probabilità che in un istante t'>t la grandezza y_al} assuma un assegnato valore, è univocamente determinata dal valore assunto da y_al al tempo t. Ciò si esprime dicendo che y_al(t') è correlato a y_al}(t). Nel caso contrario, diremo che i suddetti valori sono scorrelati. Poniamo

dove abbiamo omesso il pedice "al". Se P(y1,y2) è la densità di probabilità congiunta, si ha:

È chiaro che

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[¯|¯] Funzione dissipativa e potenza dissipata istantanea (aggiornamento)

domenica, Marzo 5th, 2017

Per esplicitare il significato fisico delle locuzioni introdotte nel Aggiornamento del post precedente consideriamo il seguente esempio tratto dalla meccanica classica: una particella di massa m si muove lungo l'asse x sotto l'azione di una forza "attiva" F(x,v,t), dove v è il vettore velocità della particella, e di una resistenza passiva R come illustrato nella figura seguente:

In regime lineare

dove b>0 è un coefficiente di proporzionalita. È preferibile riferirsi al reciproco di b, la cosiddetta mobilità

Per la seconda legge di Newton:

Cioè

dove

è il tempo di rilassamento, mentre

è la forza attiva per unità di massa. Dal momento che il moto è unidimensionale, si ha che possiamo scrivere:

A questo punto osserviamo che lo scenario appena descritto caratterizza il moto di un corpuscolo (nota come particella browniana) in un fluido viscoso. Basta infatti aggiungere un'altra dimensione per caratterizzare un moto 2-dimensionale che rappresenta una situazione più realistica. Riguardo al significato fisico del tempo di rilassamento, osserviamo che

In altri termini, la costante τ_r fissa la scala dei tempi in cui agisce la resistenza passiva dovuta alla viscosità del fluido. Infatti, dalle relazioni precedenti vediamo che in un fluido infinitamente viscoso, il moto della particella è istantaneamente smorzato. Di contro, in assenza di viscosità il moto risulta smorzato dopo un tempo infinito, cioè mai.
Abbiamo già tratto questo problema, studiando il moto browniano descritto dall'equazione di Langevin:

in cui α(t) è la forza istantanea per unità di massa derivante dagli urti particella-molecole del fluido. Si noti che a differenza della "vecchia" equazione in cui la forza dipende oltre che dal tempo, dalla posizione e velocità, nell'equazione di Langevin dipende solo dal tempo. Avevamo poi trovato la seguente soluzione dell'equazione di Langevin:

che dipende ovviamente dalla α(t), che avevamo descritto attraverso una grandezza aleatoria, e che a sua volta caratterizza la soluzione a regime:

giacché

Se consideriamo il caso particolare di una sola particella, si ha che α(t)=0 per cui:

L'energia meccanica della particella si riduce al solo termine cinetico:

Tale risultato è consistente, perché l'energia cinetica iniziale

viene dissipata dalla forza viscosa tramite un fattore di smorzamento esponenziale. L'energia dissipata per unità di tempo i.e. la potenza dissipata è

Se ci riferiamo all'unità di massa:

dove

Il valor medio nel tempo è:

dove

Queste formule giustificano le definizioni astratte date in questo post. Inoltre per quanto precede, se v=v(t) necessariamente si ha

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