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[¯|¯] Funzione dissipativa e potenza dissipata istantanea (aggiornamento)

Marzo 5th, 2017 | by Marcello Colozzo |

Per esplicitare il significato fisico delle locuzioni introdotte nel Aggiornamento del post precedente consideriamo il seguente esempio tratto dalla meccanica classica: una particella di massa m si muove lungo l'asse x sotto l'azione di una forza "attiva" F(x,v,t), dove v è il vettore velocità della particella, e di una resistenza passiva R come illustrato nella figura seguente:

In regime lineare

dove b>0 è un coefficiente di proporzionalita. È preferibile riferirsi al reciproco di b, la cosiddetta mobilità

Per la seconda legge di Newton:

Cioè

dove

è il tempo di rilassamento, mentre

è la forza attiva per unità di massa. Dal momento che il moto è unidimensionale, si ha che possiamo scrivere:

A questo punto osserviamo che lo scenario appena descritto caratterizza il moto di un corpuscolo (nota come particella browniana) in un fluido viscoso. Basta infatti aggiungere un'altra dimensione per caratterizzare un moto 2-dimensionale che rappresenta una situazione più realistica. Riguardo al significato fisico del tempo di rilassamento, osserviamo che

In altri termini, la costante τ_r fissa la scala dei tempi in cui agisce la resistenza passiva dovuta alla viscosità del fluido. Infatti, dalle relazioni precedenti vediamo che in un fluido infinitamente viscoso, il moto della particella è istantaneamente smorzato. Di contro, in assenza di viscosità il moto risulta smorzato dopo un tempo infinito, cioè mai.
Abbiamo già tratto questo problema, studiando il moto browniano descritto dall'equazione di Langevin:

in cui α(t) è la forza istantanea per unità di massa derivante dagli urti particella-molecole del fluido. Si noti che a differenza della "vecchia" equazione in cui la forza dipende oltre che dal tempo, dalla posizione e velocità, nell'equazione di Langevin dipende solo dal tempo. Avevamo poi trovato la seguente soluzione dell'equazione di Langevin:

che dipende ovviamente dalla α(t), che avevamo descritto attraverso una grandezza aleatoria, e che a sua volta caratterizza la soluzione a regime:

giacché

Se consideriamo il caso particolare di una sola particella, si ha che α(t)=0 per cui:

L'energia meccanica della particella si riduce al solo termine cinetico:

Tale risultato è consistente, perché l'energia cinetica iniziale

viene dissipata dalla forza viscosa tramite un fattore di smorzamento esponenziale. L'energia dissipata per unità di tempo i.e. la potenza dissipata è

Se ci riferiamo all'unità di massa:

dove

Il valor medio nel tempo è:

dove

Queste formule giustificano le definizioni astratte date in questo post. Inoltre per quanto precede, se v=v(t) necessariamente si ha









Da ciò segue che se v(t) non è una costante, inevitabilmente si ha una potenza dissipata mediamente non nulla. Ci si può tuttavia chiedere se esistono elementi v(t) non appartenenti allo spazio funzionale C([0,T]) per i quali è violata la disuguaglianza di Schwartz, per cui non si avrebbe dissipazione di energia (in media). Per inciso se

il moto è uniforme e per il principio di inerzia, la particella è libera da forze. D'altra parte

è una condizione necessaria ma non sufficiente per la dissipazione di energia. Ad esempio, se la particella non è soggetta a forze viscose ma esclusivamente a un potenziale di oscillatore armonico, si ha con ovvio significato dei simboli

La velocità è la seguente funzione periodica del tempo

Per tale sistema la dipendenza della velocità dal tempo determina una trasformazione periodica di energia potenziale in cinetica e viceversa, conservandone la somma, ovvero l'energia meccanica.
Riprendiamo la soluzione dell'equazione di Langevin a regime:

Anziché eseguire un'analisi della varianza con l'utilizzo del teorema di Wiener-Khintchine simuliamo la dinamica degli urti particella-molecole attraverso un white noise, graficato in figura 1, per poi inserire - via software - tale grandezza nell'integrale.

Sfortunatamente Mathematica non riesce a calcolare l'integrale. Magari occorre settare diverse opzioni, ma per il momento lasciamo in sospeso tale possibilità, tentando un'integrazione dell'equazione di Langevin in cui α(t) è la predetta variabile aleatoria assegnata. Integrando numericamente otteniamo la soluzione (velocità in funzione del tempo) riportata in fig. 2.

A questo punto occorre integrare numericamente v(t)² in [0,T] dove T»τ_r, ma anche in questo caso il carico computazionale sembra essere eccessivo. Il ragionamento seguito sembra comunque corretto: se proviamo ad integrare la soluzione trovata per via numerica, otteniamo l'ascissa della particella graficata in fig. 3, dove vediamo che si tratta effettivamente di un moto browniano (x simula un rumore Brown).

Tags: equazione di langevin, moto browniano, white noise

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