[¯|¯] Variabili aleatorie nell'ambiente di calcolo Mathematica

martedì, Marzo 14th, 2017

variabili aleatorie,variabili deterministiche,variabili ergodiche — **Fig. 2**

Variabili deterministiche e variabili aleatorie

Abbiamo appreso in maniera euristica la differenza tra variabili deterministiche e variabili aleatorie. Cerchiamo ora di assiomatizzare tali nozioni.

Le variabili deterministiche -- che denotiamo con y_det(t), dove t è il tempo -- sono soluzioni di un assegnato problema di Cauchy, per cui non sono altro che ordinarie funzioni dell'Analisi matematica. Quindi:

che si legge: il valore che y_det(t) assume all'istante t'>t è univocamente determinato dal valore all'istante t. Nel caso aleatorio:

dove P(y_al(t'),t') è la probabilità che al tempo t'>t la variabile aleatoria assuma il valore y_al(t'), per cui il valore di y_al al tempo t non determina univocamente il valore di y_al nel generico istante successivo t, ma determina il valore della probabilità. In altri termini, per definire una variabile aleatoria è necessario conoscere la probabilità

Si tratta di una grandezza che dipende dal tempo t sia esplicitamente che implicitamente (cioè attraverso y_al). Ciò implica

dove abbiamo omesso il pedice "al" e assunto y variabile con continuità in [y1,y2], per cui

Senza perdita di generalità supponiamo

(altro…)

Posted in Elettrotecnica | No Comments »

[¯|¯] L'oscillatore di Langevin

lunedì, Marzo 6th, 2017

noise,equazione di langevin,variabili aleatorie,white noise — **Fig. 1. Diagramma orario dell'oscillatore di Langevin che si muove in un fluido caratterizzato da una costante di tempo τ_{=1 sec.}**

A questo punto ci possiamo "divertire", ad esempio generalizzando l'equazione di Langevin che descrive il moto di una particella browniana. Supponiamo che tale particella sia soggetta oltre alla forza viscosa.

dove ß è la mobilità, a una forza di richiamo elastica
noise,equazione di langevin,variabili aleatorie,white noise

essendo k la costante elastica. In tal caso l'equazione differenziale del moto è

Qui ω=sqrt(k/m) è la pulsazione mentre τ=ßm è la costante di tempo della forza viscosa. Al solito, α(t) descrive la dinamica degli urti particella-molecole del fluido.
(altro…)