[¯|¯] Variabili aleatorie nell’ambiente di calcolo Mathematica

[¯|¯] Variabili aleatorie nell'ambiente di calcolo Mathematica

Marzo 14th, 2017 | by Marcello Colozzo |

variabili aleatorie,variabili deterministiche,variabili ergodiche — **Fig. 2**

Variabili deterministiche e variabili aleatorie

Abbiamo appreso in maniera euristica la differenza tra variabili deterministiche e variabili aleatorie. Cerchiamo ora di assiomatizzare tali nozioni.

Le variabili deterministiche -- che denotiamo con y_det(t), dove t è il tempo -- sono soluzioni di un assegnato problema di Cauchy, per cui non sono altro che ordinarie funzioni dell'Analisi matematica. Quindi:

che si legge: il valore che y_det(t) assume all'istante t'>t è univocamente determinato dal valore all'istante t. Nel caso aleatorio:

dove P(y_al(t'),t') è la probabilità che al tempo t'>t la variabile aleatoria assuma il valore y_al(t'), per cui il valore di y_al al tempo t non determina univocamente il valore di y_al nel generico istante successivo t, ma determina il valore della probabilità. In altri termini, per definire una variabile aleatoria è necessario conoscere la probabilità

Si tratta di una grandezza che dipende dal tempo t sia esplicitamente che implicitamente (cioè attraverso y_al). Ciò implica

dove abbiamo omesso il pedice "al" e assunto y variabile con continuità in [y1,y2], per cui

Senza perdita di generalità supponiamo

Assumendo P(y,t)appartenente allo spazio funzionale C^r(R²) i.e. continua in R² ed ivi dotata di derivate parziali continue fino all'ordine r>=2, si ha la seguente interpretazione: comunque prendiamo y₀ in R, il termine differenziale

è la probabilità infinitesima che il valore assunto dalla variabile aleatoria y all'istante t, appartenga all'intervallo infinitesimo [y₀,y₀+dy]. Inoltre, per definizione di probabilità:

ovvero la funzione P(y,t) è normalizzata rispetto alla variabile y. In tal modo possiamo definire il valore medio di y(t):

dove il pedice t a primo membro denota la dipendenza temporale del valore medio. La deviazione quadratica media:

Le conclusioni di questo paragrafo si riassumono nella seguente definizione:
Definizione 1

Una variabile aleatoria è definita dall'insieme

dove la funzione reale P(y,t) di classe r=2 su R² sodddisfa la condizione di normalizzazione, e si chiama associata alla variabile aleatoria assegnata.

Processi stazionari. Ergodicità

Definizione 2
Una variabile aleatoria stazionaria è definita dall'insieme

In altri termini, la densità di probabilità di una variabile aleatoria stazionaria non dipende esplicitamente dal tempo. Ciò implica che sia il valor medio che la deviazione quadratica media non dipendono dal tempo:

Definizione 2
Una variabile aleatoria stazionaria è ergodica se

In altri termini, il valor medio di una variabile ergodica concide con la media integrale della "funzione" y(t). L'utilizzo delle virgolette è suggerito dal fatto che per quanto visto in precedenza, una variabile aleatoria non è una funzione nel senso ordinario del termine. La media integrale

si chiama media temporale, spesso denotata con il simbolo soprasegnato:
variabili aleatorie,variabili deterministiche,variabili ergodiche

Per quanto precede la classe delle variabili ergodiche è contenuta nella classe delle variabili stazionarie, per cui la stazionarietà è una condizione necessaria ma non sufficiente dell'ergodicità.
***
Una variabile gaussiana è la variabile aleatoria ergodica:
variabili aleatorie,variabili deterministiche,variabili ergodiche

dove

il cui grafico è la ben nota curva di Gauss, graficata in fig 1, dopo aver assunto µ=0.

curva di gauss,gaussiana — **Fig. 1. Curva di Gauss**

Risulta:

mentre σ² è la varianza. La probabilità che in qualunque istante la grandezza y appartenga all'intervallo [-n σ,n σ] è pertanto

Il white noise e l'ambiente di calcolo Mathematica

Definizione 3
Una qualunque variabile gaussiana si dice white noise (o rumore bianco).

Tale denominazione si giustifica attraverso un analisi statistica basata sul Teorema di Wiener - Khintchine. L'ambiente di calcolo simbolico/numerico Mathematica permette di definire con estrema facilità variabili aleatorie del tipo white noise. Tale ambiente, infatti, definisce le variabili aleatorie attraverso "liste" di numeri reali pseudocasuali, che possono essere interpolati dando luogo a una funzione nel senso dell'Analisi matematica. Ad esempio, il grafico di fig. 2 rappresenta il classico white noise