Vibrazioni trasversali di una barra metallica

mercoledì, Novembre 3rd, 2021

vibrazioni trasversali, barra metallica — **Fig. 1**

Esercizi di Meccanica razionale elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Esercizio

Si consideri una barra metallica verticale di densità lineare ?_{l} e lunghezza l incastrata ad una estremità (fig. 1). Si chiede:

a) di ricavare l'equazione differenziale relativa alle vibrazioni trasversali;
b) risolvere questa equazione differenziale usando il metodo delle serie di potenze e determinare la frequenza minima delle vibrazioni.

Soluzione

Quesito a

La tensione T, cui è sottoposta la barra, in una sezione x dall'origine O è data dal peso del tratto (l-x), e precisamente:

La forza d'inerzia, diretta come y, in un tratto Δx vale

che è l'equazione differenziale per piccole oscillazioni trasversali.
Quesito b

Per risolvere la predetta equazione differenziale, applichiamo il metodo di separazione delle variabili, cioè cerchiamo soluzioni:

per cui

Poiché il membro di sinistra dipende solo da t e quello di destra dipende solo da x, ciascuno sarà uguale ad una costante, che chiameremo -λ, essendo -λ > 0. Così otteniamo due equazioni differenziali ordinarie: