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[¯|¯] Esempio di calcolo della parte principale di un infinitesimo

lunedì, Febbraio 27th, 2017

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Consideriamo la funzione

il cui insieme di definizione è

Riesce

onde f(x) è un infinitesimo in x=1.
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[¯|¯] Parte principale di un infinitesimo

lunedì, Febbraio 27th, 2017

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Siano dati gli infinitesimi (in x₀) f(x) e g(x) non identicamente nulli intorno a tale punto. Se f(x) è di ordine α rispetto a g(x):

In tale ipotesi poniamo

Riesce

ccosicché ε(x) è un infinitesimo (in x₀). Da ciò segue che la funzione

è un infinitesimo di ordine maggiore di α rispetto a g(x). Infatti:

Tenendo conto della formula che definisce ε(x):

da cui

Abbiamo così ricavato la formula di decomposizione di un infinitesimo. Sussiste la definizione

In particolare se g(x) è l'infinitesimo di riferimento u(x), la formula di decomposizione diventa:

Proposizione
La parte principale di un infinitesimo di ordine α è a sua volta un infinitesimo di ordine α.
Dimostrazione
Segue immediatamente dalla definizione di parte principale.
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