Teorema di Simson

domenica, Ottobre 24th, 2021

Esercizi di Geometria elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

Esercizio

Dimostrare che i piedi delle perpendicolari tracciate da un punto qualunque P di una circonferenza ai lati o prolungamenti, di un triangolo inscritto alla circonferenza sono allineati.

Soluzione

Da un punto P della circonferenza che inscrive il triangolo ABC, si traccino le perpendicolari PX,PY,PZ rispettivamente ai lati BC,AC,AB. Poichè l'angolo PYA è supplementare all'angolo PZA, il quadrilatero PZAY è ciclico. Si veda la fig. 1.
Tracciare i segmenti PA, PB, PC. Con ovvio significato dei simboli:

Analogamente, poiché l'angolo PYC è supplmentare all'angolo PXC, il quadrilatero PXCY è ciclico, dunque:

Comunque il quadrilatero PACB è pure ciclico perchè presente nell'ipotesi del teorema - il triangolo inscritto nella circonferenza e P un punto della stessa - e dunque: