Teorema di derivazione per serie

domenica, Novembre 7th, 2021

Teorema di derivazione per serie
Fig. 1

Sia data la serie di funzioni

che supponiamo convergente nell'intervallo X con somma f(x), assumendo ivi derivabili le singole funzioni f_{n}(x). Ci poniamo le seguenti domande: 1) La somma f(x) è derivabile in X? 2) La serie delle derivate Σnf'n(x) è convergente in X? E in caso affermativo, possiamo asserire che la sua somma è la derivata f'(x) della funzione f(x)? Cioè la domanda è


In generale, la risposta a tali quesiti è negativa, come mostra l'esempio di questa serie dove


da cui le somme parziali


Quindi nel caso in esame la relazione scritta più sopra non è verificata in x=0, in quanto la somma non è ivi derivabile. Dimostriamo, ora, il teorema enunciato in fig. 1.

Per un assegnato x0 in X preso ad arbitrio, poniamo X0=X\{x0}, per cui proviamo l'uniforme convergenza dei rapporti incrementali delle singole funzioni:


A tale scopo applichiamo il criterio generale di convergenza, valutando per assegnati interi n,p presi ad arbitrio


Senza perdita di generalità, supponiamo x0 < x. Per il teorema di Lagrange:

Ma la serie dellel derivate è per ipotesi uniformemente convergente, per cui


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