Punti di accumulazione. Punti isolati. Teorema di Bolzano-Weierstrass

mercoledì, Febbraio 17th, 2021

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Senza perdita di generalità consideriamo un sottoinsieme non vuoto X di R.
Definizione
Si dice intorno di un punto x0 di R un qualunque intervallo aperto contenente tale punto.

Per una questione di comodità, si considerano intorni centrati in x0, cioè intervalli aperti del tipo:

dove δ > 0 è il raggio (o semiampiezza) dell'intervallo. Per rammentare tale circostanza si usa scrivere I_δ(x0). In questi appunti utilizzeremo indifferentemente entrambe le notazioni.

Definizione
Un punto x0 di R si dice punto di accumulazione o punto limite per X, se in ogni intorno di x0 cade almeno un punto di X distinto da x0. In simboli

È importante sottolineare che tale proprietà deve essere verificata in ogni intorno del punto assegnato. Ad esempio è facile persuadersi che nel caso dell'insieme degli interi naturali N, è sempre possibile trovare un intorno di un punto assegnato in cui cadono elementi di N distinti dal predetto punto. Ma per quanto precede, tale proprietà deve essere verificata in ogni intorni e nel caso di N ciò non succede. Inoltre, se in un qualunque intorno di x0 cade almeno un punto di X distinto da x0, necessariamente ne cadono infiniti.
Appare ora chiaro che la definizione di punto di accumulazione esprime rigorosamente la nozione intuitiva secondo cui esistono punti di X distinti da x0, ma aribitrariamente vicini a esso.
È istruttivo osservare che la proprietà di appartenenza a un insieme e la proprietà di essere punto di accumulazione, sono indipendenti. In altri termini, un punto x0 può appartenere a X senza essere punto di accumualzione, e viceversa. In quest'ultimo caso - cioè se x0 non è punto di accumulazione per X - si dice che x0 è punto isolato per X. In simboli:

Si verifica immediatamente che gli elementi dell'insieme degli interi naturali N, sono punti isolati. La definizione di punto di accumulazione si estende ai "punti all'infinito" ovvero a +oo e a -oo. A tale scopo definiamo intorno di +oo, ogni intervallo (δ,+oo) per un assegnato δ > 0, ed intorno di -oo ogni intervallo (-oo,-δ):

Ne segue che +oo è punto di accumulazione per X, se in ogni intorno di +oo cade almeno un elemento di X. Mentre -oo è punto di accumulazione per X, se in ogni intorno di -oo cade almeno un elemento di X.
La predetta estensione suggerisce la locuzione x0 è punto di accumulazione al finito quando x0 è un elemento di R (si ricordi che ±oo sono simboli convenzionali e non numeri reali).
Per quanto visto, se X è dotato di almeno un punto di accumulazione, necessariamente tale insieme contiene infiniti elementi, cioè è infinito. Non è sempre vero il viceversa. Abbiamo infatti, come controesempio l'insieme degli interi naturali che è privo di punti di accumulazione pur essendo infinito. Più precisamente, sussiste il seguente teorema di cui omettiamo la dimostrazione:
Teorema di Bolzano-Weierstrass
Un qualunque sottoinsieme di R infinito e limitato, ammette almeno un punto di accumulazione.

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