Punti di accumulazione. Punti isolati. Teorema di Bolzano-Weierstrass

Febbraio 17th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Senza perdita di generalità consideriamo un sottoinsieme non vuoto X di R.
Definizione
Si dice intorno di un punto x0 di R un qualunque intervallo aperto contenente tale punto.

Per una questione di comodità, si considerano intorni centrati in x0, cioè intervalli aperti del tipo:

dove δ > 0 è il raggio (o semiampiezza) dell'intervallo. Per rammentare tale circostanza si usa scrivere I_δ(x0). In questi appunti utilizzeremo indifferentemente entrambe le notazioni.

Definizione
Un punto x0 di R si dice punto di accumulazione o punto limite per X, se in ogni intorno di x0 cade almeno un punto di X distinto da x0. In simboli

È importante sottolineare che tale proprietà deve essere verificata in ogni intorno del punto assegnato. Ad esempio è facile persuadersi che nel caso dell'insieme degli interi naturali N, è sempre possibile trovare un intorno di un punto assegnato in cui cadono elementi di N distinti dal predetto punto. Ma per quanto precede, tale proprietà deve essere verificata in ogni intorni e nel caso di N ciò non succede. Inoltre, se in un qualunque intorno di x0 cade almeno un punto di X distinto da x0, necessariamente ne cadono infiniti.
Appare ora chiaro che la definizione di punto di accumulazione esprime rigorosamente la nozione intuitiva secondo cui esistono punti di X distinti da x0, ma aribitrariamente vicini a esso.
È istruttivo osservare che la proprietà di appartenenza a un insieme e la proprietà di essere punto di accumulazione, sono indipendenti. In altri termini, un punto x0 può appartenere a X senza essere punto di accumualzione, e viceversa. In quest'ultimo caso - cioè se x0 non è punto di accumulazione per X - si dice che x0 è punto isolato per X. In simboli:

Si verifica immediatamente che gli elementi dell'insieme degli interi naturali N, sono punti isolati. La definizione di punto di accumulazione si estende ai "punti all'infinito" ovvero a +oo e a -oo. A tale scopo definiamo intorno di +oo, ogni intervallo (δ,+oo) per un assegnato δ > 0, ed intorno di -oo ogni intervallo (-oo,-δ):

Ne segue che +oo è punto di accumulazione per X, se in ogni intorno di +oo cade almeno un elemento di X. Mentre -oo è punto di accumulazione per X, se in ogni intorno di -oo cade almeno un elemento di X.
La predetta estensione suggerisce la locuzione x0 è punto di accumulazione al finito quando x0 è un elemento di R (si ricordi che ±oo sono simboli convenzionali e non numeri reali).
Per quanto visto, se X è dotato di almeno un punto di accumulazione, necessariamente tale insieme contiene infiniti elementi, cioè è infinito. Non è sempre vero il viceversa. Abbiamo infatti, come controesempio l'insieme degli interi naturali che è privo di punti di accumulazione pur essendo infinito. Più precisamente, sussiste il seguente teorema di cui omettiamo la dimostrazione:
Teorema di Bolzano-Weierstrass
Un qualunque sottoinsieme di R infinito e limitato, ammette almeno un punto di accumulazione.

Without loss of generality we consider a non-empty subset X of R.
Definition
We say neighbourhood of a point x0 of R any open interval containing such a point.

As a matter of convenience, we consider neighborhoods centered in x0, i.e. open intervals of the type:

where δ > 0 is the radius (or half-width) of the interval. To recall this circumstance we use to write I_δ(x0). In questi appunti utilizzeremo indifferentemente entrambe le notazioni.

Definition
A point x0 of R is called an accumulation point or limit point for X, if at least one point of X distinct from x0 falls in every neighborhood of x0. In symbols

It is important to underline that this property must be verified in every neighborhood of the assigned point. For example, it is easy to believe that in the case of the set of natural integers N, it is always possible to find a neighborhood of an assigned point in which elements of N distinct from the aforesaid point fall. But for the above, this property must be verified in every neighborhood and in the case of N this does not happen. Moreover, if in any neighborhood of x0 at least one point of X distinct from x0 falls, necessarily infinite ones fall.
It now appears clear that the definition of an accumulation point rigorously expresses the intuitive notion according to which there are points of X distinct from x0, but somewhat close to it.
It is instructive to observe that the property of belonging to a set and the property of being a point of accumulation are independent. In other words, a point x0 can belong to X without being an accumulation point, and vice versa. In the latter case - that is, if x0 is not an accumulation point for X - x0 is said to be isolated point for X. In symbols:

It is immediately verified that the elements of the set of natural integers N are isolated points. The definition of an accumulation point extends to "points at infinity" that is to + oo and to -oo. To do this we define neighborhood of + oo , each interval (δ, +oo) for an assigned δ > 0, and around -oo each interval (-oo, - δ):

It follows that + oo is an accumulation point for X, if at least one element of X falls in every neighborhood of + oo. While -oo is an accumulation point for X, if at least one element of X falls in every neighborhood of -oo.
The aforementioned extension suggests the expression x0 is a finite accumulation point when x0 is an element of R (remember that ± oo are conventional symbols and not real numbers).
As seen, if X has at least one accumulation point, this set necessarily contains infinite elements, that is, it is infinite. The reverse is not always true. In fact, we have as a counterexample the set of natural integers which is devoid of accumulation points even though it is infinite. More precisely, the following theorem exists, the proof of which we omit:
Bolzano-Weierstrass Theorem
Any infinite and limited subset of R admits at least one point of accumulation.

Indice delle lezioni

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