[¯|¯] Il teorema della divergenza (in due dimensioni). Flusso e divergenza di un campo vettoriale

giovedì, Maggio 25th, 2017

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Una notevole conseguenza del teorema di Green è il Teorema della divergenza. Altrettanto interessante è la sua interpretazione fisica (anche se poi riesce più chiara in tre dimensioni). Tale interpretazione lega l'integrale di un campo scalare noto come "divergenza" di un campo vettoriale, esteso a un dominio regolare D del piano xy, al "flusso" uscente dalla frontiera di D del campo vettoriale. Incidentalmente, l'annullarsi della divergenza implica a sua volta l'annullarsi del flusso uscente. In tal caso si dice che il campo è solenoidale (assenza di sorgenti/pozzi nel dominio D).

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[¯|¯] L'equazione del bilancio e l'equazione di continuità

giovedì, Maggio 18th, 2017

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Sia G(t) una grandezza scalare di densità ρ(x,t):

per un assegnato dominio D di R³. Dal momento che ρ(x,t) è una funzione delle coordinate (x,y,z) e del tempo t, possiamo immaginare che essa venga "trasportata". Definiamo allora un campo vettoriale j(x,t) - denominato densità di corrente di G(t) - tale che se ds è un qualunque elemento di superficie e n il versore normale, j(x,t)·nds è la quantità di grandezza che attraversa ds nell'unità di tempo. Ciò implica che