» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Esonero di Analisi Matematica 1 - Teorema dei Carabinieri

Oggi pubblichiamo la simulazione n. 2 di un esonero di analisi matematica 1. Si tratta di calcolare un limite applicando il Teorema dei Carabinieri.

Ecco il testo:

Assegnata la funzione:

$$f\left( x\right) =x+2\pi\sin x,$$

dimostrare, applicando il teorema dei carabinieri, che $f$ diverge positivamente per $x\rightarrow+\infty$, mentre diverge negativamente per $x\rightarrow-\infty$.in un intorno del punto $x_{0}=0$.

Risulta

$$-1\leq\sin x\leq1\Longrightarrow-2\pi\leq2\pi\sin x\leq2\pi\Longrightarrow x-2\pi\leq x+2\pi\sin x\leq x+2\pi<br />$$

$$g\left( x\right) \leq f\left( x\right) \leq h\left( x\right) ,\,\,\,\,\forall x\in\mathbb{R}%<br />$$

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}g\left( x\right) =+\infty,\,\,\,\lim_{x\rightarrow x_{0}}h\left( x\right) =+\infty<br />$$

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[¯|¯] Criteri di regolarità per restrizione

In un vecchio testo di Analisi Matematica 1 - Lezioni di analisi matematica vol. 1 - vengono riportate proprietà e proposizioni sul limite di una funzione f reale di una variabile reale e, in particolare, sul limite della restrizione di f a un sottoinsieme X' dell'insieme di definizione della funzione medesima. Naturalmente il limite è calcolato per x -> x₀, dove quest'ultimo è punto di accumulazione per entrambi gli insiemi X e X'.
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