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[¯|¯] Tensori misti (applicazioni (r+s)-lineari)

venerdì, Marzo 6th, 2020

A questo punto la definizione di tensore misto è immediata. Precisamente, comunque prendiamo uno spazio vettoriale E_n su un campo K, possiamo definire un'applicazione (r+s)-lineare:

essendo (al solito) E_n* lo spazio duale di E_n. Quindi

Definizione
La forma (r+s)-lineare (cfr. eq. scritta sopra), si dice tensore misto di rango r+s, di ordine di covarianza r e di ordine di controvarianza s (relativo allo spazio vettoriale E_n).

Se {e_i} è una base di E_n e {θ^j} è la base duale ad essa associata, possiamo esprimere i singoli argomenti della predetta applicazione (r+s)-lineare, in termini di vettori di base:

La (r+s)-linearità implica:

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[¯|¯] Tensori misti di rango 2 (parte seconda)

sabato, Giugno 10th, 2017

Per quanto precede ci aspettiamo che gli elementi di matrice T_i^k siano le componenti del tensore T in una base dello spazio vettoriale

Più precisamente, dello spazio

giacché siamo passati dal biduale F_m^** a F_m per mezzo di un isomorfismo naturale. Ciò premesso, consideriamo le forme lineari:

Se {&thetaⁱ} è la base duale associata alla base {e_i}} di E_n, si has

D'altra parte le componenti ω_i del vettore covariante ω sono gli elementi di matrice di tale forma lineare nella base {e_i}:

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