Serie di Taylor

venerdì, Novembre 12th, 2021

Consideriamo un intervallo X (contenuto in R) e una funzione f di classe (n+1) su X (cioè derivabile in X n+1 volte con derivate continue). Preso ad arbitrio x₀ in X, ricordiamo la formula di Taylor:

dove il resto R_n(x) si presenta in due espressioni diverse. Precisamente, il resto di Lagrange:

e il resto di Cauchy:

Se f è di classe C^oo(X) (cioè dotate di derivate di ordine comunque elevato, e continue in X) la formula di Taylor può essere scritta per n arbitrariamente grande, per cui è univocamente definita la serie di funzioni:

Definizione
La serie

si dice serie di Taylor relativa alla funzione f(x) e ad al punto iniziale x₀ (serie di Mac Laurin se x₀=0).

Ciò posto, ci chiediamo:

la predetta serie converge?
In caso affermativo, la somma è f(x)?

A tali domande risponde il seguente teorema:

Teorema

Dim.

La somma parziale di ordine n+1 è

per cui

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[¯|¯] Sviluppo di Taylor della funzione xi di Riemann

martedì, Agosto 27th, 2019

funzione intera,funzione xi di riemann,serie di taylor

Il risultato precedente

è banale giacché per un noto teorema, ogni trascendente intera ammette uno sviluppo di Taylor con raggio di convergenza infinito. Viceversa, la somma di una qualunque serie di Taylor con raggio di convergenza infinito, è una trascendente intera. Nell'equazione appena scritta riconosciamo a primo membro lo sviluppo di Taylor di punto iniziale z=0 e di raggio di convergenza