[¯|¯] La funzione xi di Riemann descrive lo stato di una particella quantistica di spin infinito

Agosto 26th, 2019 | by Marcello Colozzo |

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La funzione ξ(z) di Riemann è una trascendente intera di rango (o genere) nullo. In virtù del teorema di fattorizzazione di Weierstrass tale funzione ammette uno sviluppo in prodotto infinito del tipo

Ricordiamo che la successione di elementi di C:

è la distribuzione degli zeri non banali di ξ(z) e quindi, della funzione ζ(z) di Riemann.

Inglobando il fattore ξ(0) nel prodotto parziale di ordine n relativo al prodotto infinito scritto in precedenza, si ha:

essendo P_n(z) il suddetto prodotto parziale:

che è manifestamente un polinomio di grado n, per cui

dove i coefficienti complessi c_k sono ovviamente calcolati sviluppando il prodotto scritto più sopra. D'altra parte, P_n(z) è un elemento dello spazio vettoriale complesso dei polinomi di grado minore o uguale a n. In simboli

Esiste un isomorfismo naturale tra il predetto spazio vettoriale e lo spazio vettoriale Cⁿ⁺¹. Ora poniamo n=2s, essendo s lo spin di una particella in regime non relativistico. Ne segue che P_2s(z) individua univocamente uno spinore a 2s+1 componenti