Una curva regolare può avere una rappresentazione parametrica non regolare?

giovedì, Dicembre 17th, 2020

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Fig. 1


La risposta è sì. Ad esempio, consideriamo in R² la semicirconferenza di raggio unitario centrata nell'origine e tracciata nel semipiano xy. Una rappresentazione parametrica regolare è


Tuttavia, il medesimo luogo geometrico esibisce quest'altra rappresentazione parametrica:


che è non regolare. Infatti, la derivata prima ha una discontinuità di seconda specie agli estremi dell'intervallo base.

come illustrato in fig. 1.

Ne concludiamo che esistono infinite rappresentazioni parametriche non regolari di un'assegnata curva regolare. In altri termini, la non regolarità di una rappresentazione parametrica è condizione necessaria ma non sufficiente per la non regolarità di una curva.
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[¯|¯] Esempio di curva regolare dotata di rappresentazione parametrica non regolare

venerdì, Febbraio 14th, 2020

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Da premettere che alcune nozioni come ad esempio, la riparametrizzazione nella sezione del blog dedicata alla geometria differenziale. Vale comunque la pena spendere qualche parola, tramite un esercizio molto istruttivo. Nello specifico è assegnata una rappresentazione parametrica che ha una singolarità per t=0 (t è il parametro).
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