[¯|¯] Proprietà e teoremi su infinitesimi e infiniti
mercoledì, Marzo 1st, 2017
Fig. 1. Le funzioni f1(x)=2(1-cosx) e f2(x)=x² sono infinitesimi equivalenti per x->0. Pertanto hanno la stessa parte principale rispetto all'infinitesimo g(x)=sinx. Geometricamente significa che i rispettivi grafici tendono a sovrapporsi in un intorno di x=0.
Proposizione
Siano f1(x) e f2(x) due infinitesimi equivalenti (per x->x0).
Se fk(x) (k=1,2) è dotato di parte principale rispetto a g(x), si ha che fh(x) (con h diverso da k) è dotato di parte principale (rispetto a g(x)) e le due parti principali coincidono.
Dimostrazione
Sia
cosicché
Per ipotesi f1(x) e f2(x) sono equivalenti:
Segue
Pertanto
onde l'asserto.
c.d.d.
Esempio
Consideriamo gli infinitesimi in x=0:
(altro…)
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