» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Relazioni in un insieme. Proprietà e teoremi. La relazione identica

martedì, Giugno 26th, 2018

In questo numero dimostriamo alcune proposizioni sulle relazioni in un insieme.
Proposizione

Dimostrazione

Preso ad arbitrio x in S:

Segue

onde l'asserto.

Definizione
Comunque prendiamo un insieme non vuoto S, dicesi relazione identica in S, la relazione:

cioè la relazione che associa a ogni elemento x di S, l'insieme il cui unico elemento è x medesimo.









Proposizione

Dimostrazione

Segue

onde l'asserto.

Proposizione

Dimostrazione

Implicazione inversa

Implicazione diretta

Cioè

onde l'asserto.

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[¯|¯] Proprietà e teoremi su infinitesimi e infiniti (parte 2)

mercoledì, Marzo 1st, 2017

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Per gli infiniti si dimostra una proposizione analoga:
Proposizione
Siano f₁(x) e f₂(x) due infiniti equivalenti (per x->x₀).
Se f_k(x) (k=1,2) è dotato di parte principale rispetto a g(x), si ha che f_h(x) (con h diverso da k) è dotato di parte principale (rispetto a g(x)) e le due parti principali coincidono.

Esempio
Consideriamo gli infiniti per x->oo:

Per quanto visto in quest'esempio

onde l'equivalenza degli infiniti assegnati. Determiniamo la parte principale di f₁(x) rispetto all'infinito

Innanzitutto calcoliamone l'ordine:

cosicché f₁(x) è di ordine 1/2 rispetto a g(x), riuscendo

Abbiamo pertanto la decomposizione:

con

Ciò implica

(altro…)

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